Christophs Blog

Willkommen zu einem frischen Artikel in der Serie „Ein kleiner Programmierer versucht die Relativitätstheorie zu verstehen“.

Hier wird versucht, anhand einiger einfacher Beispiele den Ideen der Relativitätsheorie auf die Schliche zu kommen.

Im ersten Artikel dieses Fünfer-Blocks (siehe „Zurück an den Start“) hatten wir die LT (Lorentz-Transformation) für Ereignisse angeschrieben. Dabei hatten wir akzeptiert, dass Zeit keine absolute (invariante) Größe ist.

Beim letzten Mal (siehe „Länge ist relativ“) haben wir gesehen, dass auch Längen keine absoluten Größen darstellen, sondern ebenfalls vom Bewegungszustand des Beobachters abhängen.

Na gut, da ja eine Geschwindigkeit sich aus „Länge pro Zeit“ ergibt, ist es naheliegend, dass sich bei der Transformation von Geschwindigkeiten ebenfalls etwas ändern wird, wenn man relativistisch an die Sache herangeht.

Wir definieren also wieder ein ungestrichenes („ruhendes“) Bezugssystem und ein gestrichenes („bewegtes“) Bezugssystem, der Stab bewege sich diesmal aber relativ zu beiden Bezugssystemen.

Genauer definieren wir:

• Das gestrichene Bezugssystem bewege sich wieder relativ zum ungestrichenen mit der konstanten Geschwindigkeit v.
• Der Stab bewege sich relativ zum ungestrichenen Bezugssystem mit der Geschwindigkeit w≠v.

Wir beginnen wieder mit der – Newton’schen – Zeichnung der Situation, wohl wissend, dass wir dadurch unser Gehirn auf falsche Bahnen lenken könnten, aber in der Hoffnung, die Sache anschaulicher zu gestalten.

Vorerst wollen wir die Ergebnisse, die wir bereits gesammelt haben, nützen, um unsere Erwartungen zu formulieren.

Dazu führen wir ein drittes, zweigestrichenes, Bezugssystem ein, welches sich mit dem Stab mitbewegt.

Wir wissen, dass sich das gestrichene Bezugssystem mit der Geschwindigkeit v relativ zum ungestrichenen bewegt, auch wissen wir, dass sich der Stab mit Geschwindigkeit w relativ zum ungestrichenen bewegt, aber – was uns zur Beantwortung der Frage führen soll – bewegt sich der Stab relativ zum gestrichenen Bezugssystem tatsächlich mit der Geschwindigkeit w’=w–v, wie wir aufgrund der Newton’schen Mechanik erwarten würden?

Um das zu erforschen, transformieren wir wieder die Weltlinien der beiden Endpunkte des Stabes. Diese Punkte P und Q bewegen sich dabei mit der Geschwindigkeit w relativ zum „ruhenden“ Bezugssystem:

Nun gut, um die Weltlinien der Punkte P und Q zu transformieren, verwenden wir wieder die Lorentz-Transformation

und setzen die Weltlinie des Punktes Q ein (Q ist der allgemeinere Fall, P folgt aus Q durch das Setzen von L gleich 0):

Die zweite Gleichung in die erste eingesetzt, und nach x‘ aufgelöst, ergibt in weiterer Folge x'(t‘).

Zuerst eingesetzt

dann alle Summanden mit x‘ auf die linke Seite gebracht

vereinfacht mit

zu

und weiter

also konkret für die beiden Weltlinien

Wir sehen also, dass sich die Geschwindigkeiten der Bezugssysteme NICHT einfach subtrahieren, wie in der Newton’schen Mechanik, sondern dass sich die Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme, die sich mit v bzw. w bewegen, wie folgt ergibt (Geschwindigkeit des zweigestrichenen Systems aus der Sicht des gestrichenen Systems (v)):

Das ist auch einleuchtend: angenommen, ein Stab bewege sich (fast) mit Lichtgeschwindigkeit nach rechts, ein anderer (fast) mit Lichtgeschwindigkeit nach links, dann können sich die beiden Stäbe relativ zueinander nicht mit doppelter Lichtgeschwindigkeit bewegen.

Da sowohl w als auch v betragsmäßig immer kleiner oder gleich der Lichtgeschwindigkeit sein müssen, ist der „Korrekturfaktor“ immer im Bereich zwischen 0 und 2. Wenn w und v dasselbe Vorzeichen haben (wenn sich die Bezugssysteme in dieselbe Richtung bewegen), dann ist der Faktor kleiner 1, die „relativistische Relativgeschwindigkeit“ ist also größer als die „Newton’sche Relativgeschwindigkeit“. Wenn die Geschwindigkeiten unterschiedliches Vorzeichen haben, dann ist der Faktor größer 1, die „relativistische Relativgeschwindigkeit“ ist also kleiner als die Newton’sche.

Jetzt könnte man sich eine Zwischenfrage stellen.

Denn so einleuchtend der Zusammenhang

auch ist, so unsymmetrisch scheint dieses Ergebnis zu sein.

Oder – anders formuliert – wären wir zum selben Ergebnis gekommen, wenn wir entweder das gestrichene oder das zweigestrichene Bezugssystem als „ruhendes“ angesetzt hätten und sodann die Relativgeschwindigkeit der anderen beiden berechnet hätten?

Um diese Fragestellung zu beleuchten, überlegen wir uns einmal, welche Fälle es gibt. Dazu machen wir eine Zeichung der Bezugssysteme B, B‘ und B“ sowie ihrer Relativgeschwindigkeiten:

Wenn wir drei Bezugssysteme haben, dann kann sich also jedes der drei Bezugssysteme relativ zu jedem mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegen, im ersten Ansatz haben wir also 9 Relativgeschwindigkeiten und damit 9 Freiheitsgrade:

u…………………Geschwindigkeit von B, relativ zu B
u’………………..Geschwindigkeit von B, relativ zu B‘
u“……………….Geschwindigkeit von B, relativ zu B“
v…………………Geschwindigkeit von B‘, relativ zu B
v’………………..Geschwindigkeit von B‘, relativ zu B‘
v“……………….Geschwindigkeit von B‘, relativ zu B“
w………………..Geschwindigkeit von B“, relativ zu B
w’……………….Geschwindigkeit von B“, relativ zu B‘
w“………………Geschwindigkeit von B“, relativ zu B“

Da man aber aus physikalischer Vernunft und aufgrund der Ergebnisse des zweiten Artikels (siehe „Manchmal sind offensichtliche Dinge gar nicht so offensichtlich“) bereits einige Gleichungen aufstellen kann, nämlich

• ein Bezugssystem bewegt sich relativ zu sich selbst immer mit der Geschwindigkeit 0 und
• wenn sich Bezugssystem B1 relativ zu B2 mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann bewegt sich B2 relativ zu B1 mit der Geschwindigkeit -v,

so bleiben 3 Freiheitsgrade.

Weiters haben wir die Beziehung zwischen w‘, v und w bereits hergeleitet, nämlich

Diese Gleichung bezieht sich auf das linke Dreieck in Abbildung (8.12).

sodass eben nur mehr zwei Freiheitsgrade offen sind. Damit müssen wir jetzt also beweisen, dass unter all diesen Voraussetzungen die folgenden beiden Annahmen wahr sind:

diese Gleichung bezieht sich auf das mittlere Dreieck in Abbildung (8.12), und

diese Gleichung bezieht sich auf das rechte Dreieck in Abbildung (8.12).

Diese Annahmen ergeben sich, indem man für die bereits hergeleitete Formel w‘ = w'(w,v) den „Sichtwinkel ändert“ und die Relativgeschwindigkeiten aus Sicht der beiden anderen Fälle einsetzt (reiner Analogieschluß).

Beweis für Annahme 1:

Die Beziehung u’=-v in Annahme 1 eingesetzt

sodann aufgelöst nach w‘ mit

und

ergibt den Beweis:

Beweis für Annahme 2:

Die Beziehungen u“=-w und w’=-v“ in Annahme 2 eingesetzt

sodann aufgelöst nach w‘ mit

und

ergibt wieder die wahre Aussage:

Die Berechnung der Relativgeschwindigkeit ist also mit der Lorentz-Transformation eine runde Sache, die aus der Sicht aller Bezugssysteme immer wieder denselben Charakter hat. Die Zwischenfrage ist hiermit also beantwortet

Meint
Euer Christoph

Willkommen zu einem weiteren Artikel der Serie „Ein kleiner Programmierer versucht die Relativitätstheorie zu verstehen“.

Im vorletzten Artikel (siehe „Zurück an den Start“) haben wir die Lorentz-Transformation für Ereignisse angeschrieben (es gibt die LT übrigens auch für Kräfte, Impulse, elektromagnetische Feldgrößen, etc.).

Dabei haben wir akzeptiert, dass beim Wechsel von einem Bezugssystem in ein anderes sich nicht nur die Ortskoordinaten ändern, sondern auch die Zeitkoordinate.

Weiters haben wir, vorerst ohne Beweis, angekündigt, dass sich durch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (also durch die LT) einige neue Relativitäten auftun.

So haben wir behauptet, dass Dinge wie „Länge“, „Gleichzeitigkeit“ und „Raum und Zeit“ ebenfalls keine absoluten (invarianten) Größen mehr sind sondern vielmehr vom Bewegungszustand des Beobachters (also von seiner Geschwindigkeit) abhängen.

Diesmal wollen wir diesen Behauptungen auf den Grund gehen. Am besten bedienen wir uns dazu der „Minkowski-Diagramme“.

Zur Wiederholung wollen wir vorerst die LT für Ereignisse hier nochmals anschreiben. Ein Ereignis wird hier durch ein Tupel (t,x) bzw. (t‘,x‘) beschrieben:

Rücktransformation vom „mitbewegten“ (gestrichenen) Bezugssystem ins „ruhende“:

Hintransformation vom „ruhenden“ (ungestrichenen) Bezugssystem ins „mitbewegte“:

wobei folgende Abkürzung verwendet wird:

Was ist also ein Minkowski-Diagramm?

Wie wir bereits gesehen haben, ist die Lorentz-Transformation eine Linear-Transformation.

Das heißt, dass wir eine Ebene aus Raum- und Zeitkoordinaten (unsere zweidimensionale Raumzeit) durch zwei unterschiedliche Koordinatensysteme vermessen können, wobei die Koordinatensysteme sich so zueinander verhalten, wie sich ein quadratisches Raster zu einem parallelogrammartigen Raster verhält.

Nun kann man also ein Zeichenblatt nehmen, und mit diesem Zeichenblatt eine (t,x) – Ebene aufspannen. Sodann kann man in diese (t,x) – Ebene die Koordinatenachsen x=0 (t-Achse) und t=0 (x-Achse) einzeichnen.

Der besseren Übersichtlichkeit halber kann man die t-Achse mit der Lichtgeschwindigkeit c skalieren, um in beide Richtungen die Einheit Meter zu erhalten. Die Lichtgeschwindigkeit haben wir ja als fundamentale Naturkonstante akzeptiert und somit ist sie als konstanter Faktor geeignet.

Wenn man nun die Koordinatenachsen des gestrichenen („parallelogrammartigen“) Koordinatensystems einzeichnen möchte, ist es am besten, die beiden Ereignisse (ct’=0, x’=1) und (ct’=1, x’=0) der Lorentz-Rück-Transformation zu unterwerfen, und die sich daraus ergebenden Punkte (ct=γ.v/c,x=γ) und (ct=γ,x=γ.v/c) mit dem Ursprung durch je eine Gerade zu verbinden.

Das ergibt etwa folgendes Bild.

Die 45°-Linie ist die Weltlinie eines Lichtblitzes, der sich in Richtung der positiven x-Achse/x‘-Achse bewegt.

Dieser bewegt sich bezüglich beider Bezugssysteme mit derselben Geschwindigkeit, weshalb die x‘-Achse und die c.t‘-Achse „symmetrisch hereingeklappt werden“ (diese Symmetrie ist bei der Galilei-Transformation übrigens nicht gegeben).

Der Winkel α ergibt sich zu tg α=v/c, kann also nie größer als 45° bzw. kleiner als -45° werden (das würde dann also Bezugssystemen entsprechen, die sich mit einem „Vorwärts-Lichtblitz“ bzw. mit einem „Rückwärts-Lichtblitz“ mitbewegen).

Um nun die genannten Behauptungen zu untersuchen, wollen wir einen „ruhenden“ Stab im Minkowski-Diagramm interpretieren.

Sei der Stab definiert durch seinen Anfangspunkt P und seinen Endpunkt Q. Beide Punkte sollen relativ zum ungestrichenen Bezugssystem in Ruhe sein, der eine bei x=0, der andere bei x=L. Die Weltlinien der beiden Punkte ergeben sich also wie folgt:

Wie bereits beim letzten Mal geklärt (siehe „Manchmal sind offensichtliche Dinge gar nicht so offensichtlich“), bewegen sich beide Punkte mit der Geschwindigkeit (-v) relativ zum gestrichenen Bezugssystem.

Die nächste Frage ist die Frage nach der Länge des Stabes.

Aber wie misst man die Länge? Die einleuchtendste Definition scheint die zu sein, dass man „gleichzeitig“ die x-Koordinate (bzw. die x‘-Koordinate) des Punktes P und des Punktes Q misst, und dann die Differenz bildet.

Das heisst: um die Länge L im ungestrichenen Bezugssystem zu messen, setzen wir t=0 und messen x_P(t=0) und x_Q(t=0). Wie nicht anders zu erwarten, ergibt sich genau der Wert L.

Übrigens müßten wir nicht unbedingt den Wert t=0 verwenden, sondern wir könnten jeden beliebigen „Messzeitpunkt“ t=t_m=const verwenden. Da die LT aber ohnedies eine Lineartransformation ist, würde das in unserem Fall keinerlei Informationsgewinn bedeuten.

Im folgenden Bild sind nun die beiden Weltlinien der Punkte P und Q in einem Minkowski-Diagramm dargestellt:

Da wir es nicht mehr mit einer absoluten Zeit zu tun haben, müssen wir für die Messung der Länge L‘ (im gestrichenen Bezugssystem) die Zeitkoordinate t‘ gleich 0 setzen (und nicht t). Die beiden strichlierten Linien zeigen uns, dass die Messungen von L und L‘ „an zwei unterschiedlichen Stäben durchgeführt werden“ (zumindest sind die beiden Ereignisse „Messung von x_Q“ und „Messung von x‘_Q“ nicht dieselben Ereignisse).

Aus der Sicht des ungestrichenen Bezugssystems werden also die gestrichenen Ortskoordinaten nicht „gleichzeitig“ gemessen, aus Sicht des gestrichenen Bezugssystems schon.

Das führt letzten Endes zu einer kompletten Überarbeitung des Begriffes der Gleichzeitigkeit.

Wie wir bereits beim letzten Mal berechnet hatten (siehe „Manchmal sind offensichtliche Dinge gar nicht so offensichtlich“), transformieren sich die Weltlinien der Punkte P und Q wie folgt in das gestrichene Bezugssystem:

Die Länge L‘ ergibt sich also zu

Fazit:
Der „ruhende“ Stab ist also im „bewegten“ Bezugssystem kürzer, als im „ruhenden“ Bezugssystem (ich schreibe absichtlich er „ist“ im bewegten System kürzer, und nicht er „erscheint“ aus der Sicht des bewegten Beobachters kürzer).

Wie wir gesehen haben, entfällt in der speziellen Relativitätstheorie nicht nur der absolute Begriff der Länge sondern auch der absolute Begriff der Gleichzeitigkeit (da Gleichzeitigkeit ja vom Bezugssystem abhängt).

Was man aber absolut (unabhängig vom Bezugssystem) zu zwei Ereignissen und ihren Beziehungen immer noch sagen kann, ist eine Einteilung in einen der folgenden vier Fälle:

1. Man erreicht das eine Ereignis vom anderen mit Unterlichtgeschwindigkeit (die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Ereignissen ist im Minkowski-Diagramm steiler als 45°)
2. Man erreicht das eine Ereignis vom anderen genau mit Lichtgeschwindigkeit (die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Ereignissen ist im Minkowski-Diagramm also genau 45° steil)
3. Man erreicht das eine Ereignis vom anderen mit Überlichtgeschwindigkeit (die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Ereignissen ist im Minkowski-Diagramm flacher als 45°)
4. Beide Ereignisse sind identisch

In der Relativitätstheorie nennt man diese Lagen der Ereignisse zueinander

1. eine „zeitartige“ Lage
2. eine „lichtartige“ Lage
3. eine „raumartige“ Lage

Philosophische Interpretation:

Meiner Meinung ist Fall 3 der philosophisch interessanteste. Letzten Endes bedeutet eine „raumartige“ Lage ja, dass die Reihenfolge der Ereignisse nicht absolut festgelegt ist, was man in einer philosophischen Sichtweise so interpretieren könnte, dass sie eben „quasi gleichzeitig“ stattfinden, weil eine eventuelle Kausalität zwischen den Ereignissen ja keine zeitliche Richtung mehr hat (oder man negiert die Möglichkeit einer absoluten Kausalität in diesem Fall).

Wenn also zwei Ereignisse z.B. einige Meter auseinander liegen (der „direkte Aktionsradius“ eines Menschen), dann haben wir keinen ZeitPUNKT, den wir als „Jetzt“ bezeichnen können, sondern bereits einen ZeitRAUM, den wir physikalisch als „Jetzt“ bezeichnen müssen, denn innerhalb dieses Zeitraumes gibt es keine klare Trennung zwischen „früher“ und „später“.

Da dieser Zeitraum <JETZT> allerdings weit unter dem Zeitraum liegt, den unser Gehirn als "Jetzt" erkennt, ergeben sich dadurch keine praktischen Probleme.

Bei großen räumlichen Abständen wird dieser Effekt deutlicher. Z.B. macht die Frage "Was passiert im Andromedanebel <JETZT>" aus Sicht der Relativitätstheorie keinen großen Sinn.

Meint
Euer Christoph

In der Serie „ein kleiner Programmierer versucht, die Relativitätstheorie zu verstehen“ sind bisher folgende Beiträge erschienen:

1. Hat SIMUL-RR etwas mit der Relativitätstheorie zu tun?
2. Matter matters
3. Das gute alte Relativitätsprinzip
4. Widerspruch oder bloß eine Unschönheit?
5. Aus Absolutheit folgt Relativität
6. Alles geht sich sehr schön aus, oder?

Beim letzten Mal („Alles geht sich sehr schön aus, oder?“) haben wir mit Hilfe der LT das elektromagnetische Feld berechnet, mit dem eine Punktladung eine andere Punktladung beeinflußt, wenn beide parallel zueinander mit der Geschwindigkeit v durch den leeren Raum fliegen.

(1) Diesmal wollen wir das Modell ein wenig abändern.

Wir gehen wieder davon aus, dass die Punktladung K1 seit unendlich langer Zeit fest im Ursprung des ungestrichenen Bezugssystems verankert sei, die Punktladung K2 nimmt auch wieder in z-Richtung den Abstand L ein.

Diesmal wollen wir aber davon ausgehen, dass die Kugel K2 eine Masse m₀ habe und sich durch das elektrische Feld in z-Richtung bewegen wird. Sie wird durch die Coulomb-Kraft eine Beschleunigung in z-Richtung erfahren.

Auch diesmal gehen wir von der Gültigkeit der Relativitätstheorie geradewegs aus und machen einfach ein Rechenbeispiel durch.

In der Relativitätstheorie kann man nicht mehr von „Gleichzeitigkeit“ sprechen, da sich der Zeitparameter t bei der Transformation ins gestrichene Bezugssystem ebenfalls transformiert. Dabei ist sowohl der Ort r‘ von r und t abhängig als auch der Parameter t‘ ist von r und t abhängig (r=(x,y,z) sei der ungestrichene Ortsvektor, r’=(x‘,y‘,z‘) sei der gestrichene Ortsvektor).

Da also bei der Lorentz-Transformation die Zeit mittransformiert wird, spricht man letzten Endes von einem vier-dimensionalen Vektor (einem „Vierervektor“), welcher die „Raumzeit“ darstellt.

Wir können also nicht mehr von einem „Startzeitpunkt“ t=0 sprechen, an dem wir die Kugel K2 „loslassen“, sondern wir müssen von einem „Startereignis“sprechen (t=0, x=0, y=0, z=L). Dieses „Ereignis“ können wir dann in ein anderes Bezugssystem transformieren.

Wir wollen wieder ein gestrichenes Bezugssystem festlegen, welches sich in negativer x-Richtung mit der Geschwindigkeit v bewegt,

sodass sich die Kugeln (anfangs) in positiver x‘-Richtung relativ zu diesem gestrichenen Bezugssystem mit der Geschwindigkeit v bewegen.

(2) Wir beschreiben nun die Bewegung der Kugel K2 durch ihre Geschwindigkeit u.

Im ungestrichenen Bezugssystem ist das also

Im Gegensatz zur Galilei-Transformation, wo Geschwindigkeiten einfach vektoriell addiert oder subtrahiert werden, ist die Formel für die Transformation von Geschwindigkeiten mit der LT ein wenig komplizierter.

Wieder gegoogelt, hier die Transformation einer allgemeinen Geschwindigkeit w vom ungestrichenen System ins gestrichene

wird zu

Auf unsere konkrete Geschwindigkeit u angewendet, bedeutet das im gestrichenen Bezugssystem

wobei γ wieder der Lorentz-Faktor ist, der sich aus der Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme ergibt:

Wir haben aufgrund der Geometrie unseres Beispieles also nur eine einzige Variable – u_z – durch die wir den Bewegungszustand der Kugel K2 ausdrücken können, v ist ja konstant.

(3) Jetzt wollen wir die Bewegungsgleichung anschreiben.

Bei der Bewegungsgleichung ergibt sich durch die Relativitätstheorie eine Änderung, da die Masse nicht mehr konstant ist, sondern von der Geschwindigkeit u der Kugel K2 abhängt:

Diese Gleichung gilt auch im gestrichenen Bezugssystem, bloß muss man dort m durch m‘ ersetzen und u durch u‘. Wenn u gleich Null ist (im sogenannten Ruhesystem), dann ist der Faktor γ_u gleich 1 und die Masse ist dann gleich der Ruhemasse m₀.

Die Kugel hat also in jedem Bezugssystem eine andere Masse (da ja die Geschwindigkeit in jedem Bezugssystem eine andere ist), und demzufolge wird die Bewegungsgleichung signifikant komplizierter gegenüber der klassischen Mechanik.

differenziert nach der Produktregel,

und dann Gleichung (4.8) eingesetzt

(4) Doch wir wollen die Sache ein wenig vereinfachen. Uns interessiert ja nur das Startereignis.

Deshalb vereinfacht sich die Bewegungsgleichung wie folgt.

Im ungestrichenen Bezugssystem gilt zur Raumzeit des Startereignisses

und γ_u=1, weshalb sich die Bewegungsgleichung vereinfacht zu

Im gestrichenen Bezugssystem gilt zur Raumzeit des Startereignisses u_z‚=0, also

und γ_u=γ, weshalb sich die Bewegungsgleichung vereinfacht zu

(5) Die Kraft, die auf die Kugel K2 wirkt, ist die Lorentz-Kraft F_L.

Wir wissen bereits vom letzten Mal, dass E-Feld und B-Feld relative Größen sind, denn sie hängen vom Bewegungszustand des Beobachters ab (das galt übrigens auch schon in der vor-relativistischen Elektrodynamik, da das Magnetfeld und die Lorentzkraft ja auch etwas mit der (Relativ-)Bewegung von Ladungsträgern zu tun haben).

Jetzt wird sich zeigen, dass auch der Wert einer Kraft F vom Bewegungszustand des Beobachters abhängt.

Letzten Endes hat ja genau diese Tatsache, dass aus der Absolutheit der Lichtgeschwindigkeit die Relativität so vieler physikalischer Größen folgt, dazu geführt, dass Einsteins Aufsatz – der ja ursprünglich lapidar „Von der Elektrodynamik bewegter Körper“ geheissen hatte – als „Relativitätstheorie“ in die Geschichte eingegangen ist.

Im ungestrichenen Bezugssystem ergibt sich die Lorentz-Kraft also aus dem elektrischen Feld:

Das Q in dieser Formel ist die Ladung der Kugel K2.

Wir wissen noch vom letzten Mal, dass der Wert E_z von der Ladung Q der Kugel K1 und vom Abstand L abhängt (wenn uns nicht nur das Startereignis interessieren würde, müßten wir statt L ganz allgemein die Koordinate z der Kugel K2 einsetzen).

Im ungestrichenen Bezugssystem bekommen wir also über die Bewegungsgleichung eine Querbeschleunigung

Die Lorentz-Kraft hat im gestrichenen Bezugssystem den Wert

Wenn man hier die gestrichenen Feldstärken vom letzten Mal hernimmt (gültig für die Raumzeit des Startereignisses),

sie in die Definition der Lorentz-Kraft einsetzt,

und weiters berücksichtigt, dass u_z‚ zur Raumzeit des Startereignisses gleich Null ist, so erhält man nach kurzer Rechnung die gestrichene Lorentz-Kraft, die wieder nur eine z‘-Komponente hat:

Im gestrichenen Bezugssystem bekommen wir über die Bewegungsgleichung also die Querbeschleunigung

Fazit:

Aus Gl. (4.16) und (4.22) sieht man also, dass die Kraft quer zur Bewegungsrichtung des Bezugssystems im gestrichenen Bezugssystem um den Faktor γ kleiner ist als die Kraft im ungestrichenen Bezugssystem.

Aus Gl. (4.17) und (4.23) sieht man, dass die Beschleunigung sogar um den Faktor γ² kleiner wird.

Dies ist aber im Licht der LT einsichtig, denn die z-Koordinate wird durch die LT zwar gleich gelassen, aber es gibt eine Zeitdilatation.

Da sich die Querbeschleunigung durch zweimaliges Ableiten der Ortskoordinate z nach der Zeit ergibt, ist auch klar, dass der Faktor γ quadratisch in die Beschleunigung eingeht.

In die Kraft F geht der Faktor γ nur linear ein, da ja in der Gleichung F=m.a der Wert m ebenfalls von γ abhängt (m=m₀.γ) und sich dieses γ gegen eines aus dem Wert von a kürzt (nach der LT).

Die Newton’sche Kraft F ist also auch eine relative Größe, da sie vom Bewegungszustand des Beobachters abhängt.

Auch Beschleunigungen sind in der Relativitätstheorie nichts Absolutes.

Meint

Euer Christoph

Im letzten Beitrag (siehe „Widerspruch oder bloß eine Unschönheit?“) haben wir anhand eines Rechenbeispiels ein Thema angerissen, das im vorletzten Jahrhundert und bis ins 20. Jahrhundert eine ganze Reihe von theoretischen Physikern beschäftigt hat.

Einerseits wurde um eine geschlossene Beschreibung von elektrodynamischen Effekten (also auch elektromagnetischen Feldern und Wellen) gerungen – was in der Formulierung der sogenannten Maxwell-Gleichungen mündete – andererseits ging man von der Existenz eines sogenannten Äthers aus, der das Trägermedium der elektromagnetischen Felder und Wellen sei.

Nach der Äther-Theorie wären die Maxwell-Gleichungen in ihrer schönen, einfachen Gestalt nur dann gültig gewesen, wenn man in einem „ruhenden“ Bezugssystem mäße/rechnete („ruhend“ relativ zum Äther, welcher sozusagen ein Pendant zum absoluten Raum und zur absoluten Zeit der Newton’schen Mechanik war).

In bewegten Bezugssystemen müßte man zusätzlich einen sog. „Ätherwind“ berücksichtigen.

Nun hat es sich aber experimentell herausgestellt, dass die Maxwell-Gleichungen in allen Bezugssystemen dieselbe Gültigkeit besitzen, dass ein Ätherwind also nicht aufzufinden war, und es wurde nach einer Lösung des Dilemmas gesucht.

All das ist hier bei mir nur sehr oberflächlich formuliert, einen guten Artikel gibt es z.B. hier: Geschichte der Relativitätstheorie.

Eine Lösung brachte unter anderem die Einführung einer „Ortszeit“ (im Gegensatz zur Newton’schen „absoluten Zeit“), die sich bei der Transformation von einem Bezugssystem in ein anderes mit veränderte und Transformationsgleichungen, die dann als „Lorentz-Transformation“ (LT) in die Geschichte eingegangen sind.

Ich will diesmal nur kurz nachrechnen, ob sich unter Anwendung der LT tatsächlich die Widersprüche auflösen, auf die wir beim letzten Mal gestoßen sind.

Beim letzten Mal haben wir ganz allgemein das Feld einer Punktladung berechnet, die sich relativ zu einem Bezugssystem – nennen wir es das „ruhende“ Bezugssystem – mit der Geschwindigkeit v bewegt.

Dabei sind wir von den Maxwell-Gleichungen ausgegangen, die sich dann über den Umweg der elektrodynamischen Potentiale relativ leicht lösen ließen.

Allerdings haben wir dann einen systematischen Fehler gemacht.

Wir haben nämlich behauptet, der Übergang zum mitbewegten oder teilweise mitbewegten Koordinatensystem sei einfach dadurch zu bewerkstelligen, dass man in die errechnete Lösung einfach einen anderen Wert für v einsetzt (was dann einer neuen Relativgeschwindigkeit der geladenen Kugeln gegenüber dem neuen, „bewegten“, Bezugssystem entsprechen sollte).

Dadurch haben wir vorausgesetzt, dass die Maxwellgleichungen in ihrer einfachen Form (also ohne Berücksichtigung des Ätherwindes) auch im mitbewegten Bezugssystem gültig seien (was sich letzten Endes als richtig herausstellen wird) UND dass man die Geschwindigkeit des neuen Bezugssystemes einfach nur vom alten Wert von v subtrahieren muss, um den neuen Wert von v zu erhalten.

Flapsig gesagt: wir sind davon ausgegangen, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen konstant ist UND dass die Galilei-Transformation gilt.

Das hat dann zu einem Widerspruch geführt.

P.S.: ich bin mir noch nicht sicher, was dann beim letzten Beispiel letzten Endes WIRKLICH zum Widerspruch geführt hat, Hinweise willkommen.

Diesmal wollen wir es anders angehen.

Wir wollen die LT als gegeben hinnehmen und dann ausprobieren, ob sich alles ausgeht und zu einem schönen Ende führt.

Wir werden zuerst von einem – ungestrichenen – Bezugssystem ausgehen, in dem sich die Ladung K1 nicht bewegt, und dann die Feldstärken am Ort der Ladung K2 in ein – gestrichenes – Bezugssystem transformieren, das sich mit der Geschwindigkeit (-v) entlang der x-Achse bewegt.

Dadurch erreichen wir die Beschreibung einer relativ zum gestrichenen Bezugssystem bewegten Ladung.

Beginnen wir mit der Kugel K1, die im Ursprung des „mitbewegten“ Koordinatensystems ruht und mit der Ladung Q geladen ist:

In diesem Fall gibt es kein Magnetfeld, aber ein elektrostatisches Feld, das am Ort der Kugel K2 folgenden Wert hat (Coulomb’sches Gesetz):

Wenn wir nun in ein „gestrichenes“ Bezugssystem transformieren, welches sich mit der Geschwindigkeit

relativ zum ungestrichenen Bezugssystem bewegt (das sich also „nach links“ bewegt, sodass sich die Ladung relativ dazu mit der Geschwindigkeit v „nach rechts“ bewegt), dann können wir die LT für die Feldstärken E und B googeln,

und sodann auf die Feldstärke E anwenden (B ist ja Null):

Wie diese Ergebnisse zu interpretieren sind, das wollen wir in den nächsten Schritten erarbeiten.

Lg
Christoph

P.S.:

Als erste kleine Glaubwürdigmachung wollen wir in die Rücktransformation einsetzen und sehen, ob wir wieder zum Ausgangspunkt zurückkommen.

Dazu schreiben wir die Ergebnisse der vorigen Berechnung nochmals an

überlegen uns, dass wir für die Rücktransformationsformeln bloß v durch -v ersetzen und die gestrichenen Größen mit den ungestrichenen vertauschen müssen, also

und setzen dann ein

Wie in meinem letzten Artikel zur Relativitätstheorie angekündigt (siehe „Das gute alte Relativitätsprinzip“), möchte ich diesmal konkret ein Rechenbeispiel durchmachen, das einen Widerspruch oder zumindest eine Unschönheit in der klassischen Betrachtungsweise der Elektrodynamik aufzeigt.

Im letzten Beitrag war die Rede von klassischer Mechanik und von der sogenannten Galilei-Invarianz derselben.

Diesmal wollen wir uns von der Mechanik auf die Elektrodynamik verlegen und versuchen, anhand eines Rechenbeispiels zu zeigen, warum die klassische Elektrodynamik (also die ohne Relativitätstheorie) eben NICHT galilei-invariant ist.

Das hatte um die Jahrhundertwende ja dazu geführt, dass man vorerst meinte, es muss eben DOCH ein ausgezeichnetes Inertialsystem geben und dieses sei jenes, welches sich relativ zum sogenannten Äther nicht bewege.

Schlußendlich führte aber kein Weg an der Relativitätstheorie vorbei.

Da mich Pink Panther darauf hingewiesen hat, dass das Modell der beiden parallel fliegenden Elektronen nicht realistisch ist (denn wie soll man diese auf parallelen Flugbahnen halten, wenn eben Kräfte normal zur Bewegungsrichtung wirken), möchte ich hier gerne das folgende leicht modifizierte Modell durchrechnen.

Modell: Zwei kleine, metallische, geladene Kugeln seien durch einen Isolatorstab starr miteinander verbunden und bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit v durch den ansonsten leeren Raum. Das sich ergebende hantelförmige Gebilde sei in folgender Abbildung erklärt:

Die Kugeln K1 und K2 seien – jede für sich – mit der Ladung Q geladen. Ihr Radius sei sehr klein gegen die Länge L des Isolatorstabes, sodaß man sie beim Lösen der Maxwell-Gleichungen als Punkt-Ladungen betrachten kann.

Der starre Isolatorstab sei sehr dünn – sodass man seine Anwesenheit beim Lösen der Maxwell-Gleichungen vernachlässigen kann.

Die Kugel K1 bewege sich entlang der x-Achse in Richtung positiver Werte.

Die Kugel K2 sei in Richtung der positiven z-Achse um den Wert L von der Kugel K1 entfernt.

Wenn wir es nun mit einer Anordnung von Ladungen (Ladungsträgern) zu tun haben, dann gibt es laut klassischer Elektrodynamik folgende Effekte.

• Jede Ladung verursacht ein elektrisches Feld E
• Jede bewegte Ladung verursacht ein magnetisches Feld B
• auf jede Punktladung wirkt im elektromagnetischen Feld die Lorentz-Kraft im weiteren Sinne F_L=Q.(E+v×B). Dabei ist Q der Wert der Ladung und v ihre Geschwindigkeit.

Die ersten beiden Punkte werden in den Maxwell-Gleichungen beschrieben (Näheres dazu findet man zum Beispiel im Lehrbuch „Das elektromagnetische Feld“ von H.Hofmann – Achtung, mathematisch anspruchsvoll).

Der dritte Punkt ist eigentlich genau genommen erst die Definition des elektromagnetischen Feldes, denn dieses ist ja genau dadurch definiert, dass auf einen Ladungsträger im elektromagnetischen Feld die Kraft F_L wirkt.

Nun wollen wir also den Wert der beiden Felder B und E errechnen, durch die die Punktladung K1 die Punktladung K2 beeinflußt. Hierzu muss man nur den Anteil des Feldes errechnen, den die Ladung K1 verursacht (man muss also die Maxwell-Gleichungen für K1 lösen).

Wir wollen das für den allgemeinen Fall einer Geschwindigkeit v tun (wenn sich die Ladungen also gegen das Inertialsystem bewegen, in dem der Beobachter sitzt).

Für den Spezialfall des mitbewegten Systems brauchen wir dann nur die Geschwindigkeit v=0 zu setzen.

Wie wir aus der Abbildung ersehen, verursacht die Kugel K1 im Wesentlichen ein radiales elektrisches Feld E und, da sie sich bewegt, ein tangentiales magnetisches Feld B (der Ladungstransport wegen der Bewegung von Kugel K1 bewirkt einen Wirbel im magnetischen Feld, weswegen dieses zylinderartig um die Flugbahn von K1 angeordnet ist).

Wegen der beiden Felder wirkt auf die Kugel K2 die Lorentz-Kraft F_L, wobei v hier die Geschwindigkeit der Kugel K2 ist:

Die Pfeile von E und B weisen im Bild nur dann in die richtige Richtung, wenn Q größer als Null ist (wenn man den metallischen Kugeln also Elektronengas entzogen hat), ansonsten muß man ihre Richtung invertieren. In diesem Fall ist der Wert Q in der Lorentz-Kraft allerdings ebenfalls negativ, weshalb die Kräfte immer noch in dieselbe Richtung weisen, elektrische Kraft nach aussen, magnetische Kraft nach innen.

Aus den Maxwell-Gleichungen folgt nun konkret (für Interessierte und aus Gründen der Dokumentation ist die Berechnung der folgenden Gleichungen (2.3) und (2.4) hier hinterlegt), dass am Ort der Kugel K2 folgende Felder wirken, die von Kugel K1 herrühren:

mit der Abkürzung

Achtung: Die Gleichungen (2.3) und (2.4) unterliegen keiner Qualitätskontrolle (die Berechnung wurde nicht gegengelesen), sie können also Rechenfehler enthalten. Ich habe auf die Schnelle im Internet keine Quelle gefunden, um die Ergebnisse dieser Rechnung zu kontrollieren, das Rechenbeispiel ist aber dokumentiert und
nachvollziehbar (s.o.).

Sei es wie es sei, die Ergebnisse bestätigen die Aussagen, die auf Wikipedia getätigt werden, dass sich nämlich die Gesamtkraft in z–Richtung (also quer zur Flugrichtung, in Richtung des verbindenden Isolatorstabes), aus folgenden Komponenten zusammensetzt:

also

Hier sehen wir bereits, dass die Kraft des elektrischen Feldes in z-Richtung wirkt (also nach aussen), und die Kraft des magnetischen Feldes in (-z)-Richtung (also nach innen).

Um nun die beiden Anteile nach ihrer Größe zu vergleichen, benützen wir den allseits beliebten Zusammenhang zwischen der Dielektrizitätskonstante des leeren Raumes, der Permeabilität des leeren Raumes und der Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum,

und formen Gleichung (2.7) ein wenig um:

Solange die Geschwindigkeit v also sehr klein ist gegen die Lichtgeschwindigkeit, ist die elektrische Kraft auch sehr viel größer als die magnetische und erst bei v=c₀ tritt Gleichstand der beiden Kräfte ein (sodass in Summe keine Kraft auf die Kugel K2 wirken würde).

Allerdings, und das ist jetzt der Beweis dafür, dass die Elektrodynamik eben nicht galilei-invariant ist, ändert sich die Gesamtkraft mit dem Bewegungszustand des Beobachters (den wir ebenfalls durch die Geschwindigkeit v ausdrücken können: v=0 heißt „mitbewegter Beobachter“).

Denn so sehr man es akzeptieren könnte, dass die Aufteilung des elektromagnetischen Feldes in E-Feld und B-Feld eben vom Bewegungszustand des Beobachters abhängt (da die Gesamtkraft auf die Ladung eben nur als Kombination von Q.E und Q.v×B gemessen werden kann (siehe Gleichung (2.2))), so wenig kann man aus klassischer Sicht tolerieren, dass sich die Gesamtkraft als abhängig vom Bewegungszustand des Beobachters erweist.

Das sieht man, wenn man γ in Gleichung (2.9) als Funktion von v auffasst:

Der Faktor γ ist nur für kleine Geschwindigkeiten gleich 1, wird für größere Geschwindigkeiten immer größer und strebt für v −> c₀ dann gegen Unendlich.

Interessant ist auch, dass sich in Gleichung (2.4) eine nicht verschwindende x-Komponente der elektrischen Feldstärke ergibt, was die Möglichkeiten eines Perpetuum Mobile eröffnen würde.

Man sieht also, dass bei Annahme der Gültigkeit der Galilei-Transformation die – an sich sehr gut belegten – Maxwellgleichungen zu Widersprüchen führen.

Dem wurde dann Abhilfe geschaffen, indem man die Lorentz-Transformation einführte, mit der wir uns beim nächsten Mal beschäftigen wollen.

Hinweise auf Rechenfehler willkommen.

meint
Euer Christoph