Software-Architektur

März 31, 2012

Ist nicht der Architekt häufig „der Überbringer der schlechten Nachricht“.

Da war ein Bauherr, der wollte so schnell wie möglich den Ausblick aus dem Mansardenzimmer genießen.

Der Architekt mußte ihn aufklären:
– Zuerst mußt Du den Keller ausheben
– dann den Keller betonieren
– dann das Erdgeschoß, den ersten Stock
– und erst ganz zum Schluß das Dachgeschoß

Kann man unter diesen Umständen, und bei der Ungeduld der Geldgeber, heutzutage überhaupt noch irgend etwas „auf die Beine stellen“?

Große Frage

meint
Euer Christoph


Aprilscherz?

März 30, 2012

Hi Leute,

Habe mir erlaubt, dem „Impressum“ des Blogs (also der „About“ Page https://letztersein.wordpress.com/about)

zwei kleine P.S. hinzuzufügen. Nicht allzu ernst zu nehmen 😉

Meint
Euer Christoph


Einstein und die Zwillinge

März 30, 2012

Hier, im vorerst letzten Artikel der Serie „Ein kleiner Programmierer versucht die Relativitätstheorie zu verstehen“, darf – zum krönenden Abschluss der speziellen RT – das sogenannte Zwillingsparadoxon nicht fehlen.

Wie die meisten von Euch wahrscheinlich schon wissen, geht es beim sogenannten Zwillingsparadoxon um ein gleichaltriges Brüderpaar, von denen der eine zuhause auf der Erde bleibt, während sich der andere in einem Raumschiff mit großer Geschwindigkeit auf den Weg macht, einen fernen Stern zu erforschen.

Danach kehrt er – wieder mit großer Geschwindigkeit – zurück.

Wenn der Forscher-Bruder zurückkehrt, wird sich herausstellen, dass er weniger gealtert ist als sein zuhause gebliebener Bruder (dass in seinem Bezugssystem weniger Zeit vergangen ist).

Und genau hier setzt der Vorwurf an, denn laut Lorentz-Transformation gilt der Faktor γ sowohl für die Hin- als auch für die Rücktransformation, und somit könnte jeder der beiden Brüder behaupten, die Uhr des anderen gehe langsamer.

Dieses scheinbare Paradoxon wurde bereits wenige Jahre nach Bekanntwerden aufgelöst, denn es wurde erkannt, dass eines der Systeme eben kein Inertialsystem ist, und man dadurch die Ergebnisse der Relativitätstheorie nicht so blauäugig anwenden kann.

Vielmehr muss man sich bewusst sein, dass durch die Umkehr am Endpunkt der Reise eine Umbewertung der Gleichzeitigkeit mit dem zuhausegebliebenen Bruder stattfindet, dass man also auch die Geschwindigkeitsänderungen (Krümmungen der Weltlinien) berücksichtigen muss.

Am besten, wir zeichnen die Weltlinie des Forscher-Bruders:
















Hier haben wir gleich die zwei „bewegten“ Bezugssysteme mit eingezeichnet (eines für den Hinflug und eines für den Rückflug). Das erste nennen wir B'(t‘,x‘), es hat seinen Ursprung gemeinsam mit B(t,x), also beim Start des Forscher-Zwillings.

Das zweite (B“(t“,x“)) hat seinen Ursprung im Zusammentreffen der Zwillinge NACH der Reise, also bei t = 2.T (T ist die ungestrichene „Reisezeit für eine Richtung“).

v ist hier der Absolutbetrag der Reisegeschwindigkeit der Rakete.

Wie lauten nun die Lorentz-Transformationen für den Hinflug (wo wir B‘ verwenden wollen), und für den Rückflug (wo wir B“ verwenden wollen)?

Die Lorentz-Transformation für den Hinflug können wir direkt anschreiben, da wir diese Situation bereits kennen:













Um die Lorentz-Transformation für den Rückflug zu errechnen, definieren wir vorerst ein weiteres „ruhendes“ Bezugssystem (das denselben Ursprung hat wie B“):







Für dieses neue Bezugssystem können wir die Lorentz-Transformation direkt anschreiben, da es ja denselben Ursprung hat wie B“, und da wir wissen, dass sich B“ relativ zu diesem mit der Geschwindigkeit (-v) bewegt.













Wenn wir nun wieder vom „Dach“-Bezugssystem ins ursprüngliche „ruhende“ zurückrechnen, erhalten wir die Lorentz-Transformation für den Rückflug:













Doch nun zur Interpretation:

Was die Länge der Flugstrecke und die Dauer des Fluges betrifft, ist alles noch relativ einfach zu interpretieren.

Da sich der Forscher-Bruder mit der Geschwindigkeit v bewegt, verkürzt sich der Weg für ihn durch die relativistische Längenkontraktion auf die Länge







Da er selbst seine Relativgeschwindigkeit zum Weltall ebenfalls mit dem Wert v bewertet, vergeht während des Fluges in seinem Cockpit die Zeit







Wir sehen also

  • „während“ des Fluges ist der Forscher-Bruder nur um die Zeit T’=T/γ gealtert
  • „während“ des Fluges ist der Erden-Bruder um die Zeit T gealtert (also mehr)

Die Zeitangabe „während“ bezieht sich hier auf die Sichtweise des Erden-Bruders.

Aber wie alt ist der Erden-Bruder „aus Sicht des Forscher-Bruders“? Dieser kann doch genauso gut behaupten, dass sich die Erde relativ zu ihm bewegt und somit dort die Zeit langsamer verstreicht.

Da der Forscher-Bruder „exakt zum Zeitpunkt der Ankunft und Umkehr“ sich nicht in einem Inertialsystem befindet, sondern in einem beschleunigten System, und man somit nicht mehr die spezielle Relativitätstheorie anwenden kann, können wir uns nur folgende Fragen stellen (aus der Sicht des Forscher-Bruders).

  • „Kurz vor meiner Ankunft“ am Ziel: „Wie alt ist mein Bruder auf der Erde <Jetzt>“?
  • „Kurz nach meinem Abflug“ vom Ziel: „Wie alt ist mein Bruder auf der Erde <Jetzt>“?

Kurz vor der Ankunft gilt die Transformation für den Hinflug, kurz nach dem Abflug gilt die Transformation für den Rückflug.

Kurz vor der Ankunft (aus Sicht des Forscher-Bruders) befindet sich der Erden-Bruder am Ereignis t’=T‘, x=0 (er befindet sich immer bei x=0, und die Gerade t’=T‘ ist unser „Messzeitpunkt“).

Um aus diesen Werten das Alter zu berechnen, nennen wir es T1, benötigen wir die Transformation für den Hinflug:







Die Werte t‘ und x eingesetzt, kann man T1 in Abhängigkeit von T‘ zurückrechnen. Zuerst die bekannten Werte von t‘ und x eingesetzt







sodann die zweite Gleichung in die erste eingesetzt







und nach T1 aufgelöst







also







und endgültig







Der Erden-Bruder ist also „während“ des Fluges nur um die Zeit T1=T’/γ=T/γ2 gealtert.

Die Zeitangabe „während“ bezieht sich hier auf die Sichtweise des Forscher-Bruders.

Ähnliche Verhältnisse ergeben sich für den Zeitpunkt knapp „nach dem Abflug“, es ist aber anschaulicher, sich das im Minkowsi-Diagramm anzusehen, anstatt es „hardcore“ durchzurechnen:



















Das Diagramm in Abbildung (9.17) macht deutlich, dass aus Sicht des Erden-Bruders das Abbrems- und Beschleunigungsmanöver tatsächlich „während“ eines (unendlich) kleinen Zeitraumes rund um die Zeitkoordinate t=T durchgeführt wird.

Aus Sicht des Forscher-Bruders wird die Gleichzeitigkeit aber anders bewertet, deshalb ist für ihn(!) bis zum Beginn des Bremsmanövers auf der Erde tatsächlich erst die Zeit T1 vergangen (T1=T/γ2), wie wir eine Seite weiter oben berechnet haben (Schnittpunkt der Geraden t’=T‘ mit der Geraden x=0).

Für den Forscher-Bruder macht die Zeit auf der Erde „während“ des Abbrems- und Beschleunigungsmanövers tatsächlich einen Sprung, nämlich von t=T1 zu t=2T-T1.

Wir sehen, dass das Zwillingsparadoxon kein Paradoxon ist, sondern lediglich dadurch zustande kommt, dass wir fehlerhafte Annahmen über die Bedeutung von Gleichzeitigkeiten treffen (die Idee einer absoluten Zeit sitzt offenbar tief in uns drinnen).

Zu sagen „während des Fluges“ geschieht dies oder jenes, kann keine absolute Aussage sein, da ja die Bedeutung von „während des Fluges“ vom Bewegungszustand des Beobachters abhängt.

Beobachter mit unterschiedlichem Bewegungszustand haben kein „gemeinsames <Jetzt>“.

Warum die Zeit auf der Erde einen Sprung „während“ des Brems-/Beschleunigungsmanövers des Forscher-Bruders durchmacht, liegt wahrscheinlich an dessen Beschleunigung.

Meiner bescheidenen Meinung nach müssen wir uns zur Klärung dieser Fragen aber mit der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) beschäftigen, bisher hatten wir uns ja auf die spezielle Relativitätstheorie (SRT) beschränkt.

Jetzt mal eine schöne Karwoche an alle

meint
Euer Christoph


Relativgeschwindigkeiten

März 24, 2012

Willkommen zu einem frischen Artikel in der Serie „Ein kleiner Programmierer versucht die Relativitätstheorie zu verstehen“.

Hier wird versucht, anhand einiger einfacher Beispiele den Ideen der Relativitätsheorie auf die Schliche zu kommen.

Im ersten Artikel dieses Fünfer-Blocks (siehe „Zurück an den Start“) hatten wir die LT (Lorentz-Transformation) für Ereignisse angeschrieben. Dabei hatten wir akzeptiert, dass Zeit keine absolute (invariante) Größe ist.

Beim letzten Mal (siehe „Länge ist relativ“) haben wir gesehen, dass auch Längen keine absoluten Größen darstellen, sondern ebenfalls vom Bewegungszustand des Beobachters abhängen.

Na gut, da ja eine Geschwindigkeit sich aus „Länge pro Zeit“ ergibt, ist es naheliegend, dass sich bei der Transformation von Geschwindigkeiten ebenfalls etwas ändern wird, wenn man relativistisch an die Sache herangeht.

Wir definieren also wieder ein ungestrichenes („ruhendes“) Bezugssystem und ein gestrichenes („bewegtes“) Bezugssystem, der Stab bewege sich diesmal aber relativ zu beiden Bezugssystemen.

Genauer definieren wir:

  • Das gestrichene Bezugssystem bewege sich wieder relativ zum ungestrichenen mit der konstanten Geschwindigkeit v.
  • Der Stab bewege sich relativ zum ungestrichenen Bezugssystem mit der Geschwindigkeit w≠v.

Wir beginnen wieder mit der – Newton’schen – Zeichnung der Situation, wohl wissend, dass wir dadurch unser Gehirn auf falsche Bahnen lenken könnten, aber in der Hoffnung, die Sache anschaulicher zu gestalten.










Vorerst wollen wir die Ergebnisse, die wir bereits gesammelt haben, nützen, um unsere Erwartungen zu formulieren.

Dazu führen wir ein drittes, zweigestrichenes, Bezugssystem ein, welches sich mit dem Stab mitbewegt.

Wir wissen, dass sich das gestrichene Bezugssystem mit der Geschwindigkeit v relativ zum ungestrichenen bewegt, auch wissen wir, dass sich der Stab mit Geschwindigkeit w relativ zum ungestrichenen bewegt, aber – was uns zur Beantwortung der Frage führen soll – bewegt sich der Stab relativ zum gestrichenen Bezugssystem tatsächlich mit der Geschwindigkeit w’=w–v, wie wir aufgrund der Newton’schen Mechanik erwarten würden?

Um das zu erforschen, transformieren wir wieder die Weltlinien der beiden Endpunkte des Stabes. Diese Punkte P und Q bewegen sich dabei mit der Geschwindigkeit w relativ zum „ruhenden“ Bezugssystem:







Nun gut, um die Weltlinien der Punkte P und Q zu transformieren, verwenden wir wieder die Lorentz-Transformation







und setzen die Weltlinie des Punktes Q ein (Q ist der allgemeinere Fall, P folgt aus Q durch das Setzen von L gleich 0):







Die zweite Gleichung in die erste eingesetzt, und nach x‘ aufgelöst, ergibt in weiterer Folge x'(t‘).

Zuerst eingesetzt




dann alle Summanden mit x‘ auf die linke Seite gebracht




vereinfacht mit




zu




und weiter







also konkret für die beiden Weltlinien










Wir sehen also, dass sich die Geschwindigkeiten der Bezugssysteme NICHT einfach subtrahieren, wie in der Newton’schen Mechanik, sondern dass sich die Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme, die sich mit v bzw. w bewegen, wie folgt ergibt (Geschwindigkeit des zweigestrichenen Systems (w) aus der Sicht des gestrichenen Systems (v)):







Das ist auch einleuchtend: angenommen, ein Stab bewege sich (fast) mit Lichtgeschwindigkeit nach rechts, ein anderer (fast) mit Lichtgeschwindigkeit nach links, dann können sich die beiden Stäbe relativ zueinander nicht mit doppelter Lichtgeschwindigkeit bewegen.

Da sowohl w als auch v betragsmäßig immer kleiner oder gleich der Lichtgeschwindigkeit sein müssen, ist der „Korrekturfaktor“ immer im Bereich zwischen 0 und 2. Wenn w und v dasselbe Vorzeichen haben (wenn sich die Bezugssysteme in dieselbe Richtung bewegen), dann ist der Faktor kleiner 1, die „relativistische Relativgeschwindigkeit“ ist also größer als die „Newton’sche Relativgeschwindigkeit“. Wenn die Geschwindigkeiten unterschiedliches Vorzeichen haben, dann ist der Faktor größer 1, die „relativistische Relativgeschwindigkeit“ ist also kleiner als die Newton’sche.

Jetzt könnte man sich eine Zwischenfrage stellen.

Denn so einleuchtend der Zusammenhang










auch ist, so unsymmetrisch scheint dieses Ergebnis zu sein.

Oder – anders formuliert – wären wir zum selben Ergebnis gekommen, wenn wir entweder das gestrichene oder das zweigestrichene Bezugssystem als „ruhendes“ angesetzt hätten und sodann die Relativgeschwindigkeit der anderen beiden berechnet hätten?

Um diese Fragestellung zu beleuchten, überlegen wir uns einmal, welche Fälle es gibt. Dazu machen wir eine Zeichung der Bezugssysteme B, B‘ und B“ sowie ihrer Relativgeschwindigkeiten:










Wenn wir drei Bezugssysteme haben, dann kann sich also jedes der drei Bezugssysteme relativ zu jedem mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegen, im ersten Ansatz haben wir also 9 Relativgeschwindigkeiten und damit 9 Freiheitsgrade:

u…………………Geschwindigkeit von B, relativ zu B
u’………………..Geschwindigkeit von B, relativ zu B‘
u“……………….Geschwindigkeit von B, relativ zu B“
v…………………Geschwindigkeit von B‘, relativ zu B
v’………………..Geschwindigkeit von B‘, relativ zu B‘
v“……………….Geschwindigkeit von B‘, relativ zu B“
w………………..Geschwindigkeit von B“, relativ zu B
w’……………….Geschwindigkeit von B“, relativ zu B‘
w“………………Geschwindigkeit von B“, relativ zu B“

Da man aber aus physikalischer Vernunft und aufgrund der Ergebnisse des zweiten Artikels (siehe „Manchmal sind offensichtliche Dinge gar nicht so offensichtlich“) bereits einige Gleichungen aufstellen kann, nämlich

  • ein Bezugssystem bewegt sich relativ zu sich selbst immer mit der Geschwindigkeit 0 und
  • wenn sich Bezugssystem B1 relativ zu B2 mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann bewegt sich B2 relativ zu B1 mit der Geschwindigkeit -v,

so bleiben 3 Freiheitsgrade.

Weiters haben wir die Beziehung zwischen w‘, v und w bereits hergeleitet, nämlich







Diese Gleichung bezieht sich auf das linke Dreieck in Abbildung (8.12).

sodass eben nur mehr zwei Freiheitsgrade offen sind. Damit müssen wir jetzt also beweisen, dass unter all diesen Voraussetzungen die folgenden beiden Annahmen wahr sind:







diese Gleichung bezieht sich auf das mittlere Dreieck in Abbildung (8.12), und







diese Gleichung bezieht sich auf das rechte Dreieck in Abbildung (8.12).

Diese Annahmen ergeben sich, indem man für die bereits hergeleitete Formel w‘ = w'(w,v) den „Sichtwinkel ändert“ und die Relativgeschwindigkeiten aus Sicht der beiden anderen Fälle einsetzt (reiner Analogieschluß).

Beweis für Annahme 1:

Die Beziehung u’=-v in Annahme 1 eingesetzt







sodann aufgelöst nach w‘ mit







und







ergibt den Beweis:







Beweis für Annahme 2:

Die Beziehungen u“=-w und w’=-v“ in Annahme 2 eingesetzt







sodann aufgelöst nach w‘ mit







und







ergibt wieder die wahre Aussage:







Die Berechnung der Relativgeschwindigkeit ist also mit der Lorentz-Transformation eine runde Sache, die aus der Sicht aller Bezugssysteme immer wieder denselben Charakter hat. Die Zwischenfrage ist hiermit also beantwortet

Meint
Euer Christoph


Wie geht es weiter?

März 23, 2012

Na gut, im Artikel Frühlingsbeginn habe ich ja darauf hingewiesen, dass das alte Hobby (die simulierte Modelleisenbahn) jetzt endgültig gestorben ist.

Als eine Art „Ersatzbefriedigung“ beschäftige ich mich seit einiger Zeit mit der Relativitätstheorie – wie man dem Blog ja entnehmen konnte – mit mehr oder eher weniger Erfolg.

Aber jetzt habe ich auch eine neue Idee gehabt. Auf meinen alten Blogs liegen doch noch diese beiden je ca. 10 Seiten umfassenden Artefakte namens „Drehbuchskizzen“.

Mit einigen kleinen Änderungen könnte man die so umbauen, dass sich eine einigermassen sinnvolle Trilogie ergeben könnte. Das könnte man dann – in einem closed source Projekt in echte Drehbücher umarbeiten.

Hier mal die Konstruktion der Geschichte, so wie ich sie mir momentan vorstelle. Kommentare willkommen.


************ DAS DRITTE KIND ************

Die wichtigsten Fakten
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Es gibt zu diesem Film drei Teile, jeder Teil bietet eine in sich geschlossene Geschichte, insgesamt läuft aber alles auf das Ende des dritten Teiles zu.

Eine der handelnden Personen ist ein Bigamist.

Die ganze Geschichte dreht sich um das dritte Kind des Bigamisten mit der ersten Frau.

Der Bigamist hat mit der ersten Frau drei Kinder. Vom dritten Kind weiss er nichts, da er damals für 1 Jahr auf einer Inbetriebnahme war (ohne Urlaub zu nehmen) und seine Frau das Kind wegen psychischer Probleme in die Babyklappe gelegt hatte. Die beiden anderen Kinder haben im Drehbuch keinen Namen und werden als „Tochter“ und „Sohn“ bezeichnet.

Mit der zweiten Frau hat der Bigamist zwei Kinder, diese heissen „Carl Friedrich“ und „Lieserl“ und sind Zwillinge (das erfährt man im zweiten Teil). Allerdings stellt sich im dritten Teil heraus, dass sie nicht von ihm sind.

Erster Teil: Das dritte Kind – Prolog
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Im ersten Teil geht es um die zwie-gespaltene blau-grüne Welt, um einen „Beamer“, um das Spiel „Erster sein“ und letztlich um einen Konflikt des Bigamisten mit dem Teufel, um seine Lieblosigkeit und Angst. Das Gegenmittel ist Liebe. Im ersten Teil ist der Bigamist die Hauptperson.

Eigentlich ist ja das dritte Kind die Hauptperson, aber als Vorbereitung muss man im Prolog die Herkunftsfamilie des dritten Kindes kennenlernen.

Zweiter Teil: Das dritte Kind – Freundschaft
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Im dritten Teil wird das dritte Kind einen Freund finden.

Deshalb wird im zweiten Teil dieser Freund vorgestellt. Er heisst „Conrad Peter“ und muss sich auch erst entwickeln. Es geht um die Liebe, die zur Eifersucht führt, auch um die Rache und um die Auswirkungen von Verlusten. Freundschaft und Treue sind die Gegenmittel. Conrad Peter ist im zweiten Teil die Hauptperson und hilft dem Sohn „Carl Friedrich“ bei der Bewältigung seiner Konflikte. Zum Schluß wird sein eigener Lebenskonflikt aufgedeckt und löst sich in Wohlgefallen auf.

Dritter Teil: Das dritte Kind – Die Mission(?)
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Im dritten Teil lernen wir den Namen des dritten Kindes kennen und erfahren, wie es aufgewachsen ist. Gemeinsam mit „Conrad Peter“ „rettet es die Welt“. Genaueres weiss ich selbst noch nicht.

Meint

Euer Christoph


Länge ist relativ

März 23, 2012

Willkommen zu einem weiteren Artikel der Serie „Ein kleiner Programmierer versucht die Relativitätstheorie zu verstehen“.

Im vorletzten Artikel (siehe „Zurück an den Start“) haben wir die Lorentz-Transformation für Ereignisse angeschrieben (es gibt die LT übrigens auch für Kräfte, Impulse, elektromagnetische Feldgrößen, etc.).

Dabei haben wir akzeptiert, dass beim Wechsel von einem Bezugssystem in ein anderes sich nicht nur die Ortskoordinaten ändern, sondern auch die Zeitkoordinate.

Weiters haben wir, vorerst ohne Beweis, angekündigt, dass sich durch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (also durch die LT) einige neue Relativitäten auftun.

So haben wir behauptet, dass Dinge wie „Länge“, „Gleichzeitigkeit“ und „Raum und Zeit“ ebenfalls keine absoluten (invarianten) Größen mehr sind sondern vielmehr vom Bewegungszustand des Beobachters (also von seiner Geschwindigkeit) abhängen.

Diesmal wollen wir diesen Behauptungen auf den Grund gehen. Am besten bedienen wir uns dazu der „Minkowski-Diagramme“.

Zur Wiederholung wollen wir vorerst die LT für Ereignisse hier nochmals anschreiben. Ein Ereignis wird hier durch ein Tupel (t,x) bzw. (t‘,x‘) beschrieben:

Rücktransformation vom „mitbewegten“ (gestrichenen) Bezugssystem ins „ruhende“:







Hintransformation vom „ruhenden“ (ungestrichenen) Bezugssystem ins „mitbewegte“:







wobei folgende Abkürzung verwendet wird:







Was ist also ein Minkowski-Diagramm?

Wie wir bereits gesehen haben, ist die Lorentz-Transformation eine Linear-Transformation.

Das heißt, dass wir eine Ebene aus Raum- und Zeitkoordinaten (unsere zweidimensionale Raumzeit) durch zwei unterschiedliche Koordinatensysteme vermessen können, wobei die Koordinatensysteme sich so zueinander verhalten, wie sich ein quadratisches Raster zu einem parallelogrammartigen Raster verhält.

Nun kann man also ein Zeichenblatt nehmen, und mit diesem Zeichenblatt eine (t,x) – Ebene aufspannen. Sodann kann man in diese (t,x) – Ebene die Koordinatenachsen x=0 (t-Achse) und t=0 (x-Achse) einzeichnen.

Der besseren Übersichtlichkeit halber kann man die t-Achse mit der Lichtgeschwindigkeit c skalieren, um in beide Richtungen die Einheit Meter zu erhalten. Die Lichtgeschwindigkeit haben wir ja als fundamentale Naturkonstante akzeptiert und somit ist sie als konstanter Faktor geeignet.

Wenn man nun die Koordinatenachsen des gestrichenen („parallelogrammartigen“) Koordinatensystems einzeichnen möchte, ist es am besten, die beiden Ereignisse (ct’=0, x’=1) und (ct’=1, x’=0) der Lorentz-Rück-Transformation zu unterwerfen, und die sich daraus ergebenden Punkte (ct=γ.v/c,x=γ) und (ct=γ,x=γ.v/c) mit dem Ursprung durch je eine Gerade zu verbinden.

Das ergibt etwa folgendes Bild.










Die 45°-Linie ist die Weltlinie eines Lichtblitzes, der sich in Richtung der positiven x-Achse/x‘-Achse bewegt.

Dieser bewegt sich bezüglich beider Bezugssysteme mit derselben Geschwindigkeit, weshalb die x‘-Achse und die c.t‘-Achse „symmetrisch hereingeklappt werden“ (diese Symmetrie ist bei der Galilei-Transformation übrigens nicht gegeben).

Der Winkel α ergibt sich zu tg α=v/c, kann also nie größer als 45° bzw. kleiner als -45° werden (das würde dann also Bezugssystemen entsprechen, die sich mit einem „Vorwärts-Lichtblitz“ bzw. mit einem „Rückwärts-Lichtblitz“ mitbewegen).

Um nun die genannten Behauptungen zu untersuchen, wollen wir einen „ruhenden“ Stab im Minkowski-Diagramm interpretieren.

Sei der Stab definiert durch seinen Anfangspunkt P und seinen Endpunkt Q. Beide Punkte sollen relativ zum ungestrichenen Bezugssystem in Ruhe sein, der eine bei x=0, der andere bei x=L. Die Weltlinien der beiden Punkte ergeben sich also wie folgt:







Wie bereits beim letzten Mal geklärt (siehe „Manchmal sind offensichtliche Dinge gar nicht so offensichtlich“), bewegen sich beide Punkte mit der Geschwindigkeit (-v) relativ zum gestrichenen Bezugssystem.

Die nächste Frage ist die Frage nach der Länge des Stabes.

Aber wie misst man die Länge? Die einleuchtendste Definition scheint die zu sein, dass man „gleichzeitig“ die x-Koordinate (bzw. die x‘-Koordinate) des Punktes P und des Punktes Q misst, und dann die Differenz bildet.

Das heisst: um die Länge L im ungestrichenen Bezugssystem zu messen, setzen wir t=0 und messen xP(t=0) und xQ(t=0). Wie nicht anders zu erwarten, ergibt sich genau der Wert L.




Übrigens müßten wir nicht unbedingt den Wert t=0 verwenden, sondern wir könnten jeden beliebigen „Messzeitpunkt“ t=tm=const verwenden. Da die LT aber ohnedies eine Lineartransformation ist, würde das in unserem Fall keinerlei Informationsgewinn bedeuten.

Im folgenden Bild sind nun die beiden Weltlinien der Punkte P und Q in einem Minkowski-Diagramm dargestellt:










Da wir es nicht mehr mit einer absoluten Zeit zu tun haben, müssen wir für die Messung der Länge L‘ (im gestrichenen Bezugssystem) die Zeitkoordinate t‘ gleich 0 setzen (und nicht t). Die beiden strichlierten Linien zeigen uns, dass die Messungen von L und L‘ „an zwei unterschiedlichen Stäben durchgeführt werden“ (zumindest sind die beiden Ereignisse „Messung von xQ“ und „Messung von x‘Q“ nicht dieselben Ereignisse).

Aus der Sicht des ungestrichenen Bezugssystems werden also die gestrichenen Ortskoordinaten nicht „gleichzeitig“ gemessen, aus Sicht des gestrichenen Bezugssystems schon.

Das führt letzten Endes zu einer kompletten Überarbeitung des Begriffes der Gleichzeitigkeit.

Wie wir bereits beim letzten Mal berechnet hatten (siehe „Manchmal sind offensichtliche Dinge gar nicht so offensichtlich“), transformieren sich die Weltlinien der Punkte P und Q wie folgt in das gestrichene Bezugssystem:







Die Länge L‘ ergibt sich also zu







Fazit:
Der „ruhende“ Stab ist also im „bewegten“ Bezugssystem kürzer, als im „ruhenden“ Bezugssystem (ich schreibe absichtlich er „ist“ im bewegten System kürzer, und nicht er „erscheint“ aus der Sicht des bewegten Beobachters kürzer).

Wie wir gesehen haben, entfällt in der speziellen Relativitätstheorie nicht nur der absolute Begriff der Länge sondern auch der absolute Begriff der Gleichzeitigkeit (da Gleichzeitigkeit ja vom Bezugssystem abhängt).

Was man aber absolut (unabhängig vom Bezugssystem) zu zwei Ereignissen und ihren Beziehungen immer noch sagen kann, ist eine Einteilung in einen der folgenden vier Fälle:

  1. Man erreicht das eine Ereignis vom anderen mit Unterlichtgeschwindigkeit (die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Ereignissen ist im Minkowski-Diagramm steiler als 45°)
  2. Man erreicht das eine Ereignis vom anderen genau mit Lichtgeschwindigkeit (die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Ereignissen ist im Minkowski-Diagramm also genau 45° steil)
  3. Man erreicht das eine Ereignis vom anderen mit Überlichtgeschwindigkeit (die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Ereignissen ist im Minkowski-Diagramm flacher als 45°)
  4. Beide Ereignisse sind identisch

In der Relativitätstheorie nennt man diese Lagen der Ereignisse zueinander

  1. eine „zeitartige“ Lage
  2. eine „lichtartige“ Lage
  3. eine „raumartige“ Lage

Philosophische Interpretation:

Meiner Meinung ist Fall 3 der philosophisch interessanteste. Letzten Endes bedeutet eine „raumartige“ Lage ja, dass die Reihenfolge der Ereignisse nicht absolut festgelegt ist, was man in einer philosophischen Sichtweise so interpretieren könnte, dass sie eben „quasi gleichzeitig“ stattfinden, weil eine eventuelle Kausalität zwischen den Ereignissen ja keine zeitliche Richtung mehr hat (oder man negiert die Möglichkeit einer absoluten Kausalität in diesem Fall).

Wenn also zwei Ereignisse z.B. einige Meter auseinander liegen (der „direkte Aktionsradius“ eines Menschen), dann haben wir keinen ZeitPUNKT, den wir als „Jetzt“ bezeichnen können, sondern bereits einen ZeitRAUM, den wir physikalisch als „Jetzt“ bezeichnen müssen, denn innerhalb dieses Zeitraumes gibt es keine klare Trennung zwischen „früher“ und „später“.

Da dieser Zeitraum <JETZT> allerdings weit unter dem Zeitraum liegt, den unser Gehirn als "Jetzt" erkennt, ergeben sich dadurch keine praktischen Probleme.

Bei großen räumlichen Abständen wird dieser Effekt deutlicher. Z.B. macht die Frage "Was passiert im Andromedanebel <JETZT>" aus Sicht der Relativitätstheorie keinen großen Sinn.

Meint
Euer Christoph


Frühlingsbeginn

März 20, 2012

Überall dieses fröhliche Vögelgezwitscher und die angenehme Stimmung, die in der Luft liegt.

Das kann nur eines heißen: wir haben Frühlingsbeginn.

Und weil was Neues in der Luft liegt, sollte man mit dem Alten endgültig abschließen.

Sei es, wie es sei, ich habe mir erlaubt, dem Blog ein neues Impressum zu verpassen.

Lg
Christoph