Widerspruch oder bloß eine Unschönheit?

Wie in meinem letzten Artikel zur Relativitätstheorie angekündigt (siehe „Das gute alte Relativitätsprinzip“), möchte ich diesmal konkret ein Rechenbeispiel durchmachen, das einen Widerspruch oder zumindest eine Unschönheit in der klassischen Betrachtungsweise der Elektrodynamik aufzeigt.

Im letzten Beitrag war die Rede von klassischer Mechanik und von der sogenannten Galilei-Invarianz derselben.

Diesmal wollen wir uns von der Mechanik auf die Elektrodynamik verlegen und versuchen, anhand eines Rechenbeispiels zu zeigen, warum die klassische Elektrodynamik (also die ohne Relativitätstheorie) eben NICHT galilei-invariant ist.

Das hatte um die Jahrhundertwende ja dazu geführt, dass man vorerst meinte, es muss eben DOCH ein ausgezeichnetes Inertialsystem geben und dieses sei jenes, welches sich relativ zum sogenannten Äther nicht bewege.

Schlußendlich führte aber kein Weg an der Relativitätstheorie vorbei.

Da mich Pink Panther darauf hingewiesen hat, dass das Modell der beiden parallel fliegenden Elektronen nicht realistisch ist (denn wie soll man diese auf parallelen Flugbahnen halten, wenn eben Kräfte normal zur Bewegungsrichtung wirken), möchte ich hier gerne das folgende leicht modifizierte Modell durchrechnen.

Modell: Zwei kleine, metallische, geladene Kugeln seien durch einen Isolatorstab starr miteinander verbunden und bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit v durch den ansonsten leeren Raum. Das sich ergebende hantelförmige Gebilde sei in folgender Abbildung erklärt:




Die Kugeln K1 und K2 seien – jede für sich – mit der Ladung Q geladen. Ihr Radius sei sehr klein gegen die Länge L des Isolatorstabes, sodaß man sie beim Lösen der Maxwell-Gleichungen als Punkt-Ladungen betrachten kann.

Der starre Isolatorstab sei sehr dünn – sodass man seine Anwesenheit beim Lösen der Maxwell-Gleichungen vernachlässigen kann.

Die Kugel K1 bewege sich entlang der x-Achse in Richtung positiver Werte.

Die Kugel K2 sei in Richtung der positiven z-Achse um den Wert L von der Kugel K1 entfernt.

Wenn wir es nun mit einer Anordnung von Ladungen (Ladungsträgern) zu tun haben, dann gibt es laut klassischer Elektrodynamik folgende Effekte.

  • Jede Ladung verursacht ein elektrisches Feld E
  • Jede bewegte Ladung verursacht ein magnetisches Feld B
  • auf jede Punktladung wirkt im elektromagnetischen Feld die Lorentz-Kraft im weiteren Sinne FL=Q.(E+v×B). Dabei ist Q der Wert der Ladung und v ihre Geschwindigkeit.

Die ersten beiden Punkte werden in den Maxwell-Gleichungen beschrieben (Näheres dazu findet man zum Beispiel im Lehrbuch „Das elektromagnetische Feld“ von H.Hofmann – Achtung, mathematisch anspruchsvoll).

Der dritte Punkt ist eigentlich genau genommen erst die Definition des elektromagnetischen Feldes, denn dieses ist ja genau dadurch definiert, dass auf einen Ladungsträger im elektromagnetischen Feld die Kraft FL wirkt.

Nun wollen wir also den Wert der beiden Felder B und E errechnen, durch die die Punktladung K1 die Punktladung K2 beeinflußt. Hierzu muss man nur den Anteil des Feldes errechnen, den die Ladung K1 verursacht (man muss also die Maxwell-Gleichungen für K1 lösen).

Wir wollen das für den allgemeinen Fall einer Geschwindigkeit v tun (wenn sich die Ladungen also gegen das Inertialsystem bewegen, in dem der Beobachter sitzt).

Für den Spezialfall des mitbewegten Systems brauchen wir dann nur die Geschwindigkeit v=0 zu setzen.

Wie wir aus der Abbildung ersehen, verursacht die Kugel K1 im Wesentlichen ein radiales elektrisches Feld E und, da sie sich bewegt, ein tangentiales magnetisches Feld B (der Ladungstransport wegen der Bewegung von Kugel K1 bewirkt einen Wirbel im magnetischen Feld, weswegen dieses zylinderartig um die Flugbahn von K1 angeordnet ist).

Wegen der beiden Felder wirkt auf die Kugel K2 die Lorentz-Kraft FL, wobei v hier die Geschwindigkeit der Kugel K2 ist:




Die Pfeile von E und B weisen im Bild nur dann in die richtige Richtung, wenn Q größer als Null ist (wenn man den metallischen Kugeln also Elektronengas entzogen hat), ansonsten muß man ihre Richtung invertieren. In diesem Fall ist der Wert Q in der Lorentz-Kraft allerdings ebenfalls negativ, weshalb die Kräfte immer noch in dieselbe Richtung weisen, elektrische Kraft nach aussen, magnetische Kraft nach innen.

Aus den Maxwell-Gleichungen folgt nun konkret (für Interessierte und aus Gründen der Dokumentation ist die Berechnung der folgenden Gleichungen (2.3) und (2.4) hier hinterlegt), dass am Ort der Kugel K2 folgende Felder wirken, die von Kugel K1 herrühren:











mit der Abkürzung








Achtung: Die Gleichungen (2.3) und (2.4) unterliegen keiner Qualitätskontrolle (die Berechnung wurde nicht gegengelesen), sie können also Rechenfehler enthalten. Ich habe auf die Schnelle im Internet keine Quelle gefunden, um die Ergebnisse dieser Rechnung zu kontrollieren, das Rechenbeispiel ist aber dokumentiert und
nachvollziehbar (s.o.).

Sei es wie es sei, die Ergebnisse bestätigen die Aussagen, die auf Wikipedia getätigt werden, dass sich nämlich die Gesamtkraft in z–Richtung (also quer zur Flugrichtung, in Richtung des verbindenden Isolatorstabes), aus folgenden Komponenten zusammensetzt:




also




Hier sehen wir bereits, dass die Kraft des elektrischen Feldes in z-Richtung wirkt (also nach aussen), und die Kraft des magnetischen Feldes in (-z)-Richtung (also nach innen).

Um nun die beiden Anteile nach ihrer Größe zu vergleichen, benützen wir den allseits beliebten Zusammenhang zwischen der Dielektrizitätskonstante des leeren Raumes, der Permeabilität des leeren Raumes und der Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum,




und formen Gleichung (2.7) ein wenig um:








Solange die Geschwindigkeit v also sehr klein ist gegen die Lichtgeschwindigkeit, ist die elektrische Kraft auch sehr viel größer als die magnetische und erst bei v=c0 tritt Gleichstand der beiden Kräfte ein (sodass in Summe keine Kraft auf die Kugel K2 wirken würde).

Allerdings, und das ist jetzt der Beweis dafür, dass die Elektrodynamik eben nicht galilei-invariant ist, ändert sich die Gesamtkraft mit dem Bewegungszustand des Beobachters (den wir ebenfalls durch die Geschwindigkeit v ausdrücken können: v=0 heißt „mitbewegter Beobachter“).

Denn so sehr man es akzeptieren könnte, dass die Aufteilung des elektromagnetischen Feldes in E-Feld und B-Feld eben vom Bewegungszustand des Beobachters abhängt (da die Gesamtkraft auf die Ladung eben nur als Kombination von Q.E und Q.v×B gemessen werden kann (siehe Gleichung (2.2))), so wenig kann man aus klassischer Sicht tolerieren, dass sich die Gesamtkraft als abhängig vom Bewegungszustand des Beobachters erweist.

Das sieht man, wenn man γ in Gleichung (2.9) als Funktion von v auffasst:








Der Faktor γ ist nur für kleine Geschwindigkeiten gleich 1, wird für größere Geschwindigkeiten immer größer und strebt für v −> c0 dann gegen Unendlich.

Interessant ist auch, dass sich in Gleichung (2.4) eine nicht verschwindende x-Komponente der elektrischen Feldstärke ergibt, was die Möglichkeiten eines Perpetuum Mobile eröffnen würde.

Man sieht also, dass bei Annahme der Gültigkeit der Galilei-Transformation die – an sich sehr gut belegten – Maxwellgleichungen zu Widersprüchen führen.

Dem wurde dann Abhilfe geschaffen, indem man die Lorentz-Transformation einführte, mit der wir uns beim nächsten Mal beschäftigen wollen.

Hinweise auf Rechenfehler willkommen.

meint
Euer Christoph

16 Responses to Widerspruch oder bloß eine Unschönheit?

  1. PinkPanther sagt:

    Naja, ganz so verwunderlich ist das m.E. nicht, wenn Du schon mit „retardierten Potentialen“ rechnest, da steckt ja irgendwie die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit schon drin. Die Maxwell-Gleichungen an sich leisten das noch nicht.

  2. Yeti sagt:

    Ich glaube,. der Fehler – aber das soll ja langsam auf die Problematik hinführen – ist, dass ich – zwar versteckt aber doch – beim Rechnen mit retardierten Potentialen, gleichzeitig intuitiv die Galilei-Transformation verwende.

    Aber das mit der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit stimmt natürlich.

    Ich bin ja selber erst dabei, die ganzen Dinge nachzulesen und schön langsam zu verstehen.

  3. Yeti sagt:

    @PP:
    Oder, um es anders zu formulieren: das Rechnen mit retardierten Potentialen war irgendwie naheliegend. Ich habe dabei übersehen, dass ich dadurch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit vorwegnehme.

    Hast Du einen besseren Vorschlag, wie man dieses Beispiel NICHT-RELATIVISTISCH rechnen könnte, um zu zeigen, dass man auf einen Widerspruch kommt?

  4. Kardinal Novize Igor sagt:

    Ist die Sache mit der Feldgeschwindigkeit schon geklärt?

    Also: Wenn sich ein 3. Beobachter mit der Geschwindigkeit v mit K1 und K2 mitbewegt, so müsste die Feldgeschwindigkeit Wurzel aus(c0^2 -v^2) sein, und in Richtung L fließen……..

    lg KNI

  5. Yeti sagt:

    Genau das ist es ja, worüber wir diskutieren.

    Wenn ich einen „ruhenden“ Beobachter annehme, in dessen Bezugssystem sich die Kugeln mit der Geschwindigkeit v bewegen UND wenn ich davon ausgehe, dass die Lichtgeschwindigkeit im „ruhenden“ Bezugssystem gleich c0 ist, dann müßte meine Berechnung eigentlich stimmen (zumindest das Ergebnis für B und E) – Rechenfehler ausgenommen.

    Wenn ich dann aber behaupte, dass ich im Ergebnis nur v – u statt v setzen muss, wenn sich der Beobachter mit der Geschwinidgkeit u bewegt, dann behaupte ich gleichzeitig zwei Dinge:
    a) Die Lichtgeschwindigkeit beträgt auch für den bewegten Beobachter gleich c0
    b) Man kann einfach v‘ = v – u setzen (Galilei-Transformation gilt also)

    Und meiner Meinung führt genau das zum Widerspruch.

    Ich bin in jeder freien Minute dahinter, das Beispiel unter Verwendung der Lorentz-Transformation (LT) nochmal neu durchzurechnen und werde Euch sicher über meine „Ergebnisse“ berichten.

    Aber erwartet Euch nichts Neues, ich sag’s Euch gleich: Einstein hatte recht.

    😉

    Lg
    Christoph

  6. […] Dann sind wir auf die Tatsache gestoßen, dass in der Elektrodynamik die Dinge nicht so einfach liegen, (siehe Widerspruch oder bloß eine Unschönheit?) […]

  7. PinkPanther sagt:

    noch eine Anmerkung zum retardierten Potenzial: ich hege den Verdacht, dass das in dieser Weise nicht zulässig ist, weil man damit das angenommene Bezugssystem verlässt und ein „Eigensystem“ je eines der Elektronen betrachtet.
    Im x,y,z,t-System befinden sich die Elektronen stets genau „nebeneinander“ (in z-Richtung). Mit dem retardierten Potential rechne ich einmal die relativ(istisch)e Sichtweise des einen und dann die das anderen Elektrons. Diese beiden Rechnungen kann ich auch nicht überlagern und somit ergibt sich kein Perpetuum Mobile wegen der x-Komponenten im E-Feld. DIese x-Komponente spiegelt lediglich die relative Lage des im Eigensystem des einen Elektrons nun schräg hinten liegenden zweiten Elektrons wieder, und die schräg nach vorne zeigende Kraft wird vom Verbindungsstab (der in diesem System auch schräg nach hinten zieht) ausgeglichen.
    Ich bin nach wie vor der subjektiven (nicht überprüften) intuitiven Meinung, dass die Maxwell-Gleichungen keine retardierten Felder kennen und auch die Lichtgeschwindigkeit „nur“ in der Lösung der Feldgleichungen für z.B. ein oszillierendes Elektron (etwa als Teil eines Antennenstroms) auftaucht. Für dieses Elektron und die Lösung der Maxwell-Gleichungen wird kein retardiertes Potential benötigt oder berücksichtigt oder eingeführt.

  8. Yeti sagt:

    @KNI

    Ich versuche nochmal effizienter zu formulieren.

    Nehmen wir mal an, es gebe einen absolut ruhenden Äther und das Licht pflanzte sich in diesem Äther mit der Geschwindigkeit c0 fort.

    Wenn sich unsere Kugeln nun mit der Geschwindigkeit v relativ zum Äther bewegen, dann müßte sich das Licht relativ zu einem mitbewegten Beobachter mit der Geschwinidgkeit bewegen, die Du angegeben hast, nämlich c‘02 = c02 – v2.

    Das wäre für diesen konkreten Fall die mathematische Darstellung des „Ätherwindes“.

    Nur konnte im Versuch von Michelson-Morley (hier verweise ich wieder auf die Geschichte der Relativitätstheorie, z.B. auf Wikipedia) kein Ätherwind nachgewiesen werden.

    War es das, worauf Du hinaus wolltest?

    Lg
    Christoph

  9. Yeti sagt:

    @PP

    bei der Rechnung mit den retardierten Potentialen habe ich (im attachedten Paper) immer nur im (x,y,z,t)-System gerechnet, hier scheint mir also kein systematischer Fehler vorzuliegen.

    Meiner Meinung liegt der Denkfehler dort vor, wo man das Ergebnis vom „ruhenden“ (x,y,z,t)-Beobachter uminterpretiert für einen (teilweise) „mitbewegten“ Beobachter.

    Allerdings wäre ich dankbar, wenn Du ein wenig konkreter werden könntest.

    Dass ich mich verrechnet haben könnte, habe ich selber zugegeben, aber wo und wie ich mich konkret verrechnet habe bzw. wo und wie ich konkret einem Denkfehler aufgesessen bin, das wäre interessant zu wissen.

    Lg
    Christoph

  10. Yeti sagt:

    @PP

    Was ist ein „Eigensystem“?

    Ich kenne nur den Begriff des „Beobachters“, welcher zufällig dieselbe Geschwindigkeit haben kann, wie das beobachtete Objekt oder eben eine andere.

    Lg
    Christoph

  11. […] letzten Beitrag (siehe “Widerspruch oder bloß eine Unschönheit?”) haben wir anhand eines Rechenbeispiels ein Thema angerissen, das im vorletzten Jahrhundert und bis […]

  12. PinkPanther sagt:

    wenn ich es genauer wüßte, würde ich es Dir sagen *seufz*
    ich weiß nicht, ob es den Begriff „Eigensystem“ offiziell gibt, kennen tu ich in der Relativitätstheorie nur die „Eigenzeit“ eines Objektes.
    Ich meinte damit, dass ich nicht so tun kann, als sähe ich das andere Elektron verzögert, dann aber vice versa das mit der Rechnung der anderen Seite verknüpfen, weil ich mit dem Retardieren ja eine ortsabhängige Zeit eingeführt habe, die nicht gleichermaßen für den Standpunkt eines jeden der beiden Elektronen gelten kann. Meiner INTUITION nach befinde ich mich dann nicht mehr im x,y,z,t-System ohne Retardierung. Dieses neue Koordinatensystem, in dem ich die ortsabhängige Zeit für das andere Elektron berücksichtige, nannte ich „Eigensystem“ des ersten Elektrons.

    Ich habe versucht, eine plausible Interpretation der E-Feldkomponente in x-Richtung zu finden, und jeweils in einer der retardierten Betrachtungsweisen ist sie plausibel, weil ja durch die Retardierung das andere Elektron nicht mehr nur in z-Richtung daneben parallel fliegt, sondern „schräg hinten“, und das resultierende E-Feld vielleicht die „normale“ elektrostatische Abstoßung vom schräg hinten liegenden Elektron beschreiben könnte. Das Risiko, ein Perpetuum Mobile zu erhalten kommt m.E. erst, wenn ich die beiden wechselseitigen Retardierungen in ein- und dasselbe x,y,z,t-System überlagere, und dann für beide Elektronen scheinbar eine Beschleunigungskomponente in x-Richtung finde.

    Einmal ganz unwissenschaftlich flapsig formuliert, weil ich dankbar bin, dass Du das durchrechnest und ehrlich gesagt keine Lust habe, das nachzurechnen 😉

  13. Yeti sagt:

    @PP
    jedenfalls Danke für Deine Bemühungen.

    Ich werde mich jetzt ohnehin auf die LT und ihre Interpretation zurückziehen und was die „klassische“ Elektrodynamik betrifft, werde ich Vergangenheit einfach Vergangenheit sein lassen 😉

  14. […] Widerspruch oder bloß eine Unschönheit? […]

  15. […] Widerspruch oder bloß eine Unschönheit? […]

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