Zurück an den Start

Seit einiger Zeit versuche ich, hier auf diesem Blog einen Bogen zu spannen, der uns dabei unterstützen soll, anhand von einfachen (*hüstel*) Rechenbeispielen den Ideen der Relativitätstheorie auf die Schliche zu kommen.

Zuerst hatten wir einen kleinen Ausflug zur Galilei-Invarianz der klassischen Mechanik unternommen (wo eine Kraft bzw. eine Beschleunigung in zwei unterschiedlichen Inertialsystemen immer denselben Wert ergibt, und wo man Geschwindigkeiten vektoriell addieren kann).

Danach schwenkten wir zur Elektrodynamik, wo unter Anwendung der Galilei-Transformation gewisse Widersprüche auftraten, die sich im nächsten Artikel mit Hilfe der Lorentz-Transformation beheben ließen (das haben wir allerdings nur kurz angerissen und nicht wirklich bewiesen).

Jedenfalls kamen wir dahinter, dass Kräfte und Beschleunigungen im Rahmen der Relativitätstheorie keine absoluten Größen mehr sind (ihr Wert ändert sich mit dem Bewegungszustand des Beobachters, auch wenn es sich dabei um Inertialsysteme handelt).

Und jetzt haben wir also den Verdacht, dass die Relativitätstheorie unser gesamtes Denkgebäude mehr oder weniger in sich zusammenstürzen läßt. Immerhin basiert ja die gesamte Physik auf dem Begriff der Kraft, und die soll jetzt unter der LT nicht mehr invariant sein?

So müssen wir also „zurück an den Start“ und wieder bei den einfachsten Begriffen der Mechanik beginnen. Diese findet man in der Kinematik: es sind Raum, Zeit, Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Doch vorerst noch die Links zu den fünf bisher erschienenen Artikeln:

  1. Matter matters
  2. Das gute alte Relativitätsprinzip
  3. Widerspruch oder bloß eine Unschönheit?
  4. Alles geht sich sehr schön aus, oder?
  5. Kräfte und Beschleunigungen

Normalerweise ist es das Beste, mit dem Einfachen zu beginnen, und dann immer komplexer zu werden.

Wir werden also keine dreidimensionalen Probleme betrachten, sondern eindimensionale. Anstatt der drei Raumkoordinaten x, y und z wollen wir uns also nur mit einer, der x-Koordinate beschäftigen.

Allerdings wollen wir, sozusagen als „zweite Dimension“, die Zeit zulassen. Wir werden uns also nicht mit ruhenden Systemen beschäftigen sondern mit bewegten.

Da bei der LT die Zeit mittransformiert wird, werden wir erkennen, dass wir bereits für eindimensionale Probleme zweidimensional denken müssen – das werden uns die sogenannten Minkowski-Diagramme zeigen – und dass wir es im allgemeinen Fall also mit einer vierdimensionalen „Raumzeit“ zu tun haben.

Um uns diesen Themen zu nähern, gibt es folgende fünf Artikel

  1. Zurück an den Start (dieser Artikel, 2012-03-03)
  2. Manchmal sind offensichtliche Dinge gar nicht so offensichtlich (2012-03-10)
  3. Länge ist relativ (2012-03-23)
  4. Relativgeschwindigkeiten (2012-03-24)
  5. Einstein und die Zwillinge (2012-03-30)

Gehen wir also über zur Modellbildung.

Für die Modellbildung bleibt uns nichts übrig, als uns auf unsere Anschauung zu stützen. Deshalb ist das folgende Bild noch komplett in der Newton’schen Mechanik verhaftet, in der man die Zeitkoordinate nicht auf einer eigenen Achse aufträgt, sondern sie als „universellen Parameter t“ für die gesamte Animation des Modells verwendet.













Wir wollen nur eine Raumdimension berücksichtigen, beschäftigen uns also mit Stäben, die durch Anfang- und Endpunkt beschrieben werden und sich in Längsrichtung bewegen.

Wir haben in diesem Bild nicht nur eine x-Achse festgelegt, sondern auch eine x‘-Achse, deren Ursprung zum Zeitpunkt t=0 mit dem Ursprung der x-Achse zusammenfällt, dann aber mit der Geschwindigkeit v nach rechts „wandert“.

Obwohl wir laut Relativitätsprinzip von Galileo Galilei nicht zwischen „ruhendem“ und „bewegtem“ Beobachter unterscheiden können – solange beide Systeme sogenannte Inertialsysteme sind -, wollen wir das ungestrichene Koordinatensystem als das „ruhende“ Koordinatensystem bezeichnen und das gestrichene als das „mitbewegte“ (jedoch unter Anführungszeichen).

Wenn sich der Stab nun mit dem gestrichenen Koordinatensystem mitbewegt (also relativ zu diesem ruht), dann bleiben die x‘-Koordinaten seiner Punkte konstant und die x-Koordinaten ergeben sich zu x=x’+v.t.

Zum Zeitpunkt t=0 sind die Koordinatensysteme also identisch (x=x’+v.0, also x=x‘), und für steigende Zeit t muss ein immer größer werdendes Korrekturglied v.t zum gestrichenen Ort addiert werden, um den ungestrichenen Ort zu errechnen.

Man beachte, dass das gestrichene Koordinatensystem sich nicht unbedingt mit derselben Geschwindigkeit bewegen muss, wie der Stab. Der Stab steht hier nur stellvertretend für „irgendein physikalisches Phänomen, das von zwei Beobachtern mit unterschiedlichem Bewegungszustand beobachtet wird“.

Transformation von Orts- und Zeitkoordinaten

Angenommen, wir können ein „Ereignis“ durch ein Tupel (t,x) beschreiben (also durch die „Zeit, zu der das Ereignis stattfindet“, und durch den „Ort, an dem das Ereignis stattfindet“), dann können wir es genauso gut durch ein Tupel (t‘,x‘) beschreiben, wobei sich dieses zweite Tupel aber auf das gestrichene Bezugssystem bezieht, und nicht auf das ungestrichene.

Hier haben wir bereits die relativistische Denkweise vorweggenommen, bei der die Zeit ebenfalls vom Bezugssystem abhängt, sodass es zwei unterschiedliche Werte t und t‘ gibt.

Vorerst wollen wir die Galilei-Transformation erwähnen, die in der Newton’schen Mechanik gilt – und die wir weiter oben bereits intuitiv verwendet haben.

Rücktransformation vom „mitbewegten“ Bezugssystem ins „ruhende“:







Hintransformation vom „ruhenden“ Bezugssystem ins „mitbewegte“:







Hier gehen wir also von einer absoluten Zeit aus (t’=t), die in beiden Bezugssystemen gleich ist. Wir erkennen, dass zur x‘-Koordinate bloß der Term v.t addiert werden muss, um die x-Koordinate zu erhalten. Punkte, die im gestrichenen Bezugssystem ruhen (x’=const), die sich also mit ihm „mitbewegen“, haben so relativ zum ungestrichenen Bezugssystem die Geschwindigkeit v.

Unter den anfangs genannten Voraussetzungen lautet die Lorentz-Transformation wie folgt (nachzulesen z.B. bei Wikipedia).

Rücktransformation vom „mitbewegten“ Bezugssystem ins „ruhende“:







Hintransformation vom „ruhenden“ Bezugssystem ins „mitbewegte“:







wobei folgende Abkürzung verwendet wird:







Man sieht, dass die Lorentz-Transformation eine Lineartransformation ist. Die Parameter v und c sind ja konstant und die Variablen x und t bzw. x‘ und t‘ kommen nur in ihrer ersten Potenz vor.

Das, was die meisten Menschen wahrscheinlich am meisten verstört, ist die Tatsache, dass die einfache Beziehung t=t‘ nicht mehr gilt. Vielmehr gibt es bei der Umrechung von t‘ nach t und umgekehrt einen Faktor γ>1, der bedeutet, dass im Bezugssystem des einen Beobachters mehr Zeit verstreicht, während im System des anderen weniger Zeit verstrichen ist (Zeitdilatation).

Ganz abgesehen von einer additiven Komponente v.x/c2, die auf den ersten Blick „Raum zu Zeit macht“.

Die additive Komponente v.t in der Gleichung für die Ortskoordinate verstört uns übrigens nicht so sehr, denn wir sind sie ja schon von der Galilei-Transformation gewöhnt. Dort haben wir bereits akzeptiert, dass „aus Zeit Distanz wird“, wenn sich ein Objekt bewegt.

Man sieht auch, dass – zum Glück – keines der beiden Bezugssysteme ausgezeichnet ist, da die Hin- und die Rücktransformation sich ineinander überführen lassen, indem man v durch (-v) ersetzt und die gestrichenen Größen mit den ungestrichenen vertauscht.

Das ist auch bereits ein Hinweis darauf, dass v bzw. (-v) tatsächlich die Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme ist – aber ist dem wirklich so? Dieser Frage wollen wir nächstes Mal nachgehen.

Fazit:

Ein „bewegter“ Beobachter wird also einem bestimmten Ereignis die Raumzeit (t‘,x‘) zuordnen, während ein „ruhender“ Beobachter demselben Ereignis die Raumzeit (t,x) zuordnet.

Wenn wir also wollen, dass ein Ereignis immer dasselbe Ereignis bleibt, unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters (wenn wir den „Ereignissen“ also eine absolute „Identität“ beimessen wollen, die außerhalb des Beobachters existiert), dann können wir uns die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit – die ja eine wesentliche Voraussetzung für die Lorentz-Transformation ist – nur dadurch erkaufen, daß die Begriffe „Raum und Zeit“, „Gleichzeitigkeit“, „Zeit“ und „Länge“ ihre absolute Bedeutung verlieren, wie wir sehen werden.

Meint

Euer Christoph

13 Responses to Zurück an den Start

  1. PinkPanther sagt:

    und dann werden wir hoffentlich sehen, dass nur c².t²-x² invariant ist, oder so glaub ich. Und ich habe viele Jahre versucht, mir darunter irgendwas ANSCHAULICH vorzustellen, in etwa in der Art einer „vierdimensionalen Länge“, aber blöderweise steht da ein Minus und das machts nicht einfacher für die Vorstellung, da tauchen dann Hyperboloide statt Kugeln als Flächen konstanten Ereignis-„Abstands“ auf usw. Ich musste mir eingestehen, dass mein Hirn nicht für eine innere Vorstellung der Relativitätstheorie gebaut ist… Aber ich glaube, damit bin ich nicht allein…

  2. Yeti sagt:

    Wenn wir Wikipedia vertrauen dürfen, dann ist die Invarianz von c2.t2-x2 nichts anderes, als eine Voraussetzung für die Herleitung der LT.

    Dort (auf Wikipedia) wird mit dem Begriff der „Eigenzeit“ hantiert (noch bevor die LT hergeleitet ist) – was ich allerdings nicht ganz begreife.

    Jedenfalls wird dort mit einer bewegten Uhr argumentiert, die sich linear vom Ursprung (t=0,x=0,t’=0,x’=0) bis hin zum gewünschten Ereignis bewegt. Auf dieser Uhr vergeht die Eigenzeit √(t2 – x2 / c2), bis sie am gewünschten Ereignis eintrifft.

    Diese Eigenzeit kann aber von allen Beobachtern (bewegten und unbewegten) abgelesen werden und muss somit invariant sein.

    Lg
    Christoph

  3. Kardinal Novize Igor sagt:

    Gut erklärt!

    jaja, die Mathematik ist wirklich immer nur eine Kurzsprache…….

    und die Sprache hilft-wie man hier sieht.

    lg KNI

  4. PinkPanther sagt:

    also in Startrek ist das alles viel einfacher: das geht man einfach mittels einer Warpschale in den Hyperraum (wo man auch keinernlei Zeittransformation erfährt und immer auf das Hyperraum-Zeitsignal des Sternenflottenkommandos zurückgreifen kann) und überlässt den ganzen relativistischen Krempel dem Subraum (oder den Subräumen verschiedenster Ordnungen, wie man sie halt grad dramaturgisch braucht :-))
    Außerdem wird in einer Episode auch der Einfluss der Gedanken auf die Raumzeit angedeutet: neben Raum und Zeit bestimmen auch die Gedanken die „Realität“ (oder die gerade erfahrbare Quantenalternative oder so).
    🙂

  5. PinkPanther sagt:

    und wenn alle Stricke reißen, beamen wir Dich auch von innerhalb des Ereignishorizonts eines Schwarzen Loches heraus 🙂

  6. PinkPanther sagt:

    Yeti, du darfst meine unqualifizierten Kommentare aber gerne auch wieder löschen 🙂

  7. Yeti sagt:

    Hi hi, ich glaube die größte Strafe ist, wenn ich sie stehen lasse 🙂

    Nein, im Ernst. Ich glaube, dass sich der Autor von Startrek durchaus ernsthafte Gedanken über diese Themen gemacht hat.

    Und von einem Chemiker habe ich gehört, es gibt im Bereich der Quantenmechanik Effekte („Verschränkung“), bei denen Überlichtgeschwindigkeit erreicht werden kann, zumindest für Informationen, wenn schon nicht für Materie.

    Also, gar so „fest gemauert in der Erden“ steht auch die Relativitätstheorie nicht, zumindest wenn man die AHS-mäßige Interpretation betrachtet, wie wir es hier tun.

    Lg
    Christoph

  8. […] letzten Mal (siehe Zurück an den Start) haben wir intuitiv die sogenannte Galilei-Transformation hergeleitet, in der man zur gestrichenen […]

  9. PinkPanther sagt:

    meines bescheidenen Wissens ist zur Informationsauswertung bei verschränkten Quantenteilchen trotzdem eine parallele Informationsübertragung (ich glaube: des gemessenen und damit erst festgelegten Quantenzustandes) über klassische Wege notwendig und damit nach wie vor keine Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit möglich. Denn dass die Quantenzustände verschränkt sind, nützt mir nichts, solange ich diesen nicht kenne, wobei der dummerweise aber erst nach der Mesung bei einem der Teilchen definiert ist.
    Und für die angeblich gemessene Überlichtgeschwindigkeit bei einzelnen Teilchen in CERN (welche waren das schnell?) musste laut Medienberichten ein defekter Stecker herhalten, der das GPS-Zeitsignal unvorhergesehen verzögerte.
    Aber ja, festgemauert ist gar nix, und Amen, ich sage Euch: eines Tages wird der Fehler in der Quantengravitation gefunden, und man brauch keine dunkle Materie und Energie mehr, um einen plausiblen Wert für die ko(s)mische Konstante zu haben 🙂

  10. PinkPanther sagt:

    und der Antrieb von romulanischen Raumschiffen basiert auf einer künstlichen Raumzeit-Singularität in der Maschine, die sich – einmal aktiviert – nie wieder abschalten lässt (außer es nisten sich Aliens ein, die normalerweise im Subraum innerhalb einer Singularität leben und den romulanischen Antrieb mit einem natürlichen Schwarzen Loch verwechselt haben).
    🙂

  11. […] vorletzten Artikel (siehe “Zurück an den Start”) haben wir die Lorentz-Transformation für Ereignisse angeschrieben (es gibt die LT übrigens auch […]

  12. […] ersten Artikel dieses Fünfer-Blocks (siehe “Zurück an den Start”) hatten wir die LT (Lorentz-Transformation) für Ereignisse angeschrieben. Dabei hatten wir […]

  13. […] Die Links zu den anderen Artikeln der Serie findet Ihr hier: Zurück an den Start! […]

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