Christophs Blog

Willkommen zu einem weiteren Artikel der Serie „Ein kleiner Programmierer versucht die Relativitätstheorie zu verstehen“.

Im vorletzten Artikel (siehe „Zurück an den Start“) haben wir die Lorentz-Transformation für Ereignisse angeschrieben (es gibt die LT übrigens auch für Kräfte, Impulse, elektromagnetische Feldgrößen, etc.).

Dabei haben wir akzeptiert, dass beim Wechsel von einem Bezugssystem in ein anderes sich nicht nur die Ortskoordinaten ändern, sondern auch die Zeitkoordinate.

Weiters haben wir, vorerst ohne Beweis, angekündigt, dass sich durch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (also durch die LT) einige neue Relativitäten auftun.

So haben wir behauptet, dass Dinge wie „Länge“, „Gleichzeitigkeit“ und „Raum und Zeit“ ebenfalls keine absoluten (invarianten) Größen mehr sind sondern vielmehr vom Bewegungszustand des Beobachters (also von seiner Geschwindigkeit) abhängen.

Diesmal wollen wir diesen Behauptungen auf den Grund gehen. Am besten bedienen wir uns dazu der „Minkowski-Diagramme“.

Zur Wiederholung wollen wir vorerst die LT für Ereignisse hier nochmals anschreiben. Ein Ereignis wird hier durch ein Tupel (t,x) bzw. (t‘,x‘) beschrieben:

Rücktransformation vom „mitbewegten“ (gestrichenen) Bezugssystem ins „ruhende“:

Hintransformation vom „ruhenden“ (ungestrichenen) Bezugssystem ins „mitbewegte“:

wobei folgende Abkürzung verwendet wird:

Was ist also ein Minkowski-Diagramm?

Wie wir bereits gesehen haben, ist die Lorentz-Transformation eine Linear-Transformation.

Das heißt, dass wir eine Ebene aus Raum- und Zeitkoordinaten (unsere zweidimensionale Raumzeit) durch zwei unterschiedliche Koordinatensysteme vermessen können, wobei die Koordinatensysteme sich so zueinander verhalten, wie sich ein quadratisches Raster zu einem parallelogrammartigen Raster verhält.

Nun kann man also ein Zeichenblatt nehmen, und mit diesem Zeichenblatt eine (t,x) – Ebene aufspannen. Sodann kann man in diese (t,x) – Ebene die Koordinatenachsen x=0 (t-Achse) und t=0 (x-Achse) einzeichnen.

Der besseren Übersichtlichkeit halber kann man die t-Achse mit der Lichtgeschwindigkeit c skalieren, um in beide Richtungen die Einheit Meter zu erhalten. Die Lichtgeschwindigkeit haben wir ja als fundamentale Naturkonstante akzeptiert und somit ist sie als konstanter Faktor geeignet.

Wenn man nun die Koordinatenachsen des gestrichenen („parallelogrammartigen“) Koordinatensystems einzeichnen möchte, ist es am besten, die beiden Ereignisse (ct’=0, x’=1) und (ct’=1, x’=0) der Lorentz-Rück-Transformation zu unterwerfen, und die sich daraus ergebenden Punkte (ct=γ.v/c,x=γ) und (ct=γ,x=γ.v/c) mit dem Ursprung durch je eine Gerade zu verbinden.

Das ergibt etwa folgendes Bild.

Die 45°-Linie ist die Weltlinie eines Lichtblitzes, der sich in Richtung der positiven x-Achse/x‘-Achse bewegt.

Dieser bewegt sich bezüglich beider Bezugssysteme mit derselben Geschwindigkeit, weshalb die x‘-Achse und die c.t‘-Achse „symmetrisch hereingeklappt werden“ (diese Symmetrie ist bei der Galilei-Transformation übrigens nicht gegeben).

Der Winkel α ergibt sich zu tg α=v/c, kann also nie größer als 45° bzw. kleiner als -45° werden (das würde dann also Bezugssystemen entsprechen, die sich mit einem „Vorwärts-Lichtblitz“ bzw. mit einem „Rückwärts-Lichtblitz“ mitbewegen).

Um nun die genannten Behauptungen zu untersuchen, wollen wir einen „ruhenden“ Stab im Minkowski-Diagramm interpretieren.

Sei der Stab definiert durch seinen Anfangspunkt P und seinen Endpunkt Q. Beide Punkte sollen relativ zum ungestrichenen Bezugssystem in Ruhe sein, der eine bei x=0, der andere bei x=L. Die Weltlinien der beiden Punkte ergeben sich also wie folgt:

Wie bereits beim letzten Mal geklärt (siehe „Manchmal sind offensichtliche Dinge gar nicht so offensichtlich“), bewegen sich beide Punkte mit der Geschwindigkeit (-v) relativ zum gestrichenen Bezugssystem.

Die nächste Frage ist die Frage nach der Länge des Stabes.

Aber wie misst man die Länge? Die einleuchtendste Definition scheint die zu sein, dass man „gleichzeitig“ die x-Koordinate (bzw. die x‘-Koordinate) des Punktes P und des Punktes Q misst, und dann die Differenz bildet.

Das heisst: um die Länge L im ungestrichenen Bezugssystem zu messen, setzen wir t=0 und messen x_P(t=0) und x_Q(t=0). Wie nicht anders zu erwarten, ergibt sich genau der Wert L.

Übrigens müßten wir nicht unbedingt den Wert t=0 verwenden, sondern wir könnten jeden beliebigen „Messzeitpunkt“ t=t_m=const verwenden. Da die LT aber ohnedies eine Lineartransformation ist, würde das in unserem Fall keinerlei Informationsgewinn bedeuten.

Im folgenden Bild sind nun die beiden Weltlinien der Punkte P und Q in einem Minkowski-Diagramm dargestellt:

Da wir es nicht mehr mit einer absoluten Zeit zu tun haben, müssen wir für die Messung der Länge L‘ (im gestrichenen Bezugssystem) die Zeitkoordinate t‘ gleich 0 setzen (und nicht t). Die beiden strichlierten Linien zeigen uns, dass die Messungen von L und L‘ „an zwei unterschiedlichen Stäben durchgeführt werden“ (zumindest sind die beiden Ereignisse „Messung von x_Q“ und „Messung von x‘_Q“ nicht dieselben Ereignisse).

Aus der Sicht des ungestrichenen Bezugssystems werden also die gestrichenen Ortskoordinaten nicht „gleichzeitig“ gemessen, aus Sicht des gestrichenen Bezugssystems schon.

Das führt letzten Endes zu einer kompletten Überarbeitung des Begriffes der Gleichzeitigkeit.

Wie wir bereits beim letzten Mal berechnet hatten (siehe „Manchmal sind offensichtliche Dinge gar nicht so offensichtlich“), transformieren sich die Weltlinien der Punkte P und Q wie folgt in das gestrichene Bezugssystem:

Die Länge L‘ ergibt sich also zu

Fazit:
Der „ruhende“ Stab ist also im „bewegten“ Bezugssystem kürzer, als im „ruhenden“ Bezugssystem (ich schreibe absichtlich er „ist“ im bewegten System kürzer, und nicht er „erscheint“ aus der Sicht des bewegten Beobachters kürzer).

Wie wir gesehen haben, entfällt in der speziellen Relativitätstheorie nicht nur der absolute Begriff der Länge sondern auch der absolute Begriff der Gleichzeitigkeit (da Gleichzeitigkeit ja vom Bezugssystem abhängt).

Was man aber absolut (unabhängig vom Bezugssystem) zu zwei Ereignissen und ihren Beziehungen immer noch sagen kann, ist eine Einteilung in einen der folgenden vier Fälle:

1. Man erreicht das eine Ereignis vom anderen mit Unterlichtgeschwindigkeit (die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Ereignissen ist im Minkowski-Diagramm steiler als 45°)
2. Man erreicht das eine Ereignis vom anderen genau mit Lichtgeschwindigkeit (die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Ereignissen ist im Minkowski-Diagramm also genau 45° steil)
3. Man erreicht das eine Ereignis vom anderen mit Überlichtgeschwindigkeit (die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Ereignissen ist im Minkowski-Diagramm flacher als 45°)
4. Beide Ereignisse sind identisch

In der Relativitätstheorie nennt man diese Lagen der Ereignisse zueinander

1. eine „zeitartige“ Lage
2. eine „lichtartige“ Lage
3. eine „raumartige“ Lage

Philosophische Interpretation:

Meiner Meinung ist Fall 3 der philosophisch interessanteste. Letzten Endes bedeutet eine „raumartige“ Lage ja, dass die Reihenfolge der Ereignisse nicht absolut festgelegt ist, was man in einer philosophischen Sichtweise so interpretieren könnte, dass sie eben „quasi gleichzeitig“ stattfinden, weil eine eventuelle Kausalität zwischen den Ereignissen ja keine zeitliche Richtung mehr hat (oder man negiert die Möglichkeit einer absoluten Kausalität in diesem Fall).

Wenn also zwei Ereignisse z.B. einige Meter auseinander liegen (der „direkte Aktionsradius“ eines Menschen), dann haben wir keinen ZeitPUNKT, den wir als „Jetzt“ bezeichnen können, sondern bereits einen ZeitRAUM, den wir physikalisch als „Jetzt“ bezeichnen müssen, denn innerhalb dieses Zeitraumes gibt es keine klare Trennung zwischen „früher“ und „später“.

Da dieser Zeitraum <JETZT> allerdings weit unter dem Zeitraum liegt, den unser Gehirn als "Jetzt" erkennt, ergeben sich dadurch keine praktischen Probleme.

Bei großen räumlichen Abständen wird dieser Effekt deutlicher. Z.B. macht die Frage "Was passiert im Andromedanebel <JETZT>" aus Sicht der Relativitätstheorie keinen großen Sinn.

Meint
Euer Christoph

In der Serie „ein kleiner Programmierer versucht, die Relativitätstheorie zu verstehen“ sind bisher folgende Beiträge erschienen:

1. Hat SIMUL-RR etwas mit der Relativitätstheorie zu tun?
2. Matter matters
3. Das gute alte Relativitätsprinzip
4. Widerspruch oder bloß eine Unschönheit?
5. Aus Absolutheit folgt Relativität
6. Alles geht sich sehr schön aus, oder?

Beim letzten Mal („Alles geht sich sehr schön aus, oder?“) haben wir mit Hilfe der LT das elektromagnetische Feld berechnet, mit dem eine Punktladung eine andere Punktladung beeinflußt, wenn beide parallel zueinander mit der Geschwindigkeit v durch den leeren Raum fliegen.

(1) Diesmal wollen wir das Modell ein wenig abändern.

Wir gehen wieder davon aus, dass die Punktladung K1 seit unendlich langer Zeit fest im Ursprung des ungestrichenen Bezugssystems verankert sei, die Punktladung K2 nimmt auch wieder in z-Richtung den Abstand L ein.

Diesmal wollen wir aber davon ausgehen, dass die Kugel K2 eine Masse m₀ habe und sich durch das elektrische Feld in z-Richtung bewegen wird. Sie wird durch die Coulomb-Kraft eine Beschleunigung in z-Richtung erfahren.

Auch diesmal gehen wir von der Gültigkeit der Relativitätstheorie geradewegs aus und machen einfach ein Rechenbeispiel durch.

In der Relativitätstheorie kann man nicht mehr von „Gleichzeitigkeit“ sprechen, da sich der Zeitparameter t bei der Transformation ins gestrichene Bezugssystem ebenfalls transformiert. Dabei ist sowohl der Ort r‘ von r und t abhängig als auch der Parameter t‘ ist von r und t abhängig (r=(x,y,z) sei der ungestrichene Ortsvektor, r’=(x‘,y‘,z‘) sei der gestrichene Ortsvektor).

Da also bei der Lorentz-Transformation die Zeit mittransformiert wird, spricht man letzten Endes von einem vier-dimensionalen Vektor (einem „Vierervektor“), welcher die „Raumzeit“ darstellt.

Wir können also nicht mehr von einem „Startzeitpunkt“ t=0 sprechen, an dem wir die Kugel K2 „loslassen“, sondern wir müssen von einem „Startereignis“sprechen (t=0, x=0, y=0, z=L). Dieses „Ereignis“ können wir dann in ein anderes Bezugssystem transformieren.

Wir wollen wieder ein gestrichenes Bezugssystem festlegen, welches sich in negativer x-Richtung mit der Geschwindigkeit v bewegt,

sodass sich die Kugeln (anfangs) in positiver x‘-Richtung relativ zu diesem gestrichenen Bezugssystem mit der Geschwindigkeit v bewegen.

(2) Wir beschreiben nun die Bewegung der Kugel K2 durch ihre Geschwindigkeit u.

Im ungestrichenen Bezugssystem ist das also

Im Gegensatz zur Galilei-Transformation, wo Geschwindigkeiten einfach vektoriell addiert oder subtrahiert werden, ist die Formel für die Transformation von Geschwindigkeiten mit der LT ein wenig komplizierter.

Wieder gegoogelt, hier die Transformation einer allgemeinen Geschwindigkeit w vom ungestrichenen System ins gestrichene

wird zu

Auf unsere konkrete Geschwindigkeit u angewendet, bedeutet das im gestrichenen Bezugssystem

wobei γ wieder der Lorentz-Faktor ist, der sich aus der Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme ergibt:

Wir haben aufgrund der Geometrie unseres Beispieles also nur eine einzige Variable – u_z – durch die wir den Bewegungszustand der Kugel K2 ausdrücken können, v ist ja konstant.

(3) Jetzt wollen wir die Bewegungsgleichung anschreiben.

Bei der Bewegungsgleichung ergibt sich durch die Relativitätstheorie eine Änderung, da die Masse nicht mehr konstant ist, sondern von der Geschwindigkeit u der Kugel K2 abhängt:

Diese Gleichung gilt auch im gestrichenen Bezugssystem, bloß muss man dort m durch m‘ ersetzen und u durch u‘. Wenn u gleich Null ist (im sogenannten Ruhesystem), dann ist der Faktor γ_u gleich 1 und die Masse ist dann gleich der Ruhemasse m₀.

Die Kugel hat also in jedem Bezugssystem eine andere Masse (da ja die Geschwindigkeit in jedem Bezugssystem eine andere ist), und demzufolge wird die Bewegungsgleichung signifikant komplizierter gegenüber der klassischen Mechanik.

differenziert nach der Produktregel,

und dann Gleichung (4.8) eingesetzt

(4) Doch wir wollen die Sache ein wenig vereinfachen. Uns interessiert ja nur das Startereignis.

Deshalb vereinfacht sich die Bewegungsgleichung wie folgt.

Im ungestrichenen Bezugssystem gilt zur Raumzeit des Startereignisses

und γ_u=1, weshalb sich die Bewegungsgleichung vereinfacht zu

Im gestrichenen Bezugssystem gilt zur Raumzeit des Startereignisses u_z‚=0, also

und γ_u=γ, weshalb sich die Bewegungsgleichung vereinfacht zu

(5) Die Kraft, die auf die Kugel K2 wirkt, ist die Lorentz-Kraft F_L.

Wir wissen bereits vom letzten Mal, dass E-Feld und B-Feld relative Größen sind, denn sie hängen vom Bewegungszustand des Beobachters ab (das galt übrigens auch schon in der vor-relativistischen Elektrodynamik, da das Magnetfeld und die Lorentzkraft ja auch etwas mit der (Relativ-)Bewegung von Ladungsträgern zu tun haben).

Jetzt wird sich zeigen, dass auch der Wert einer Kraft F vom Bewegungszustand des Beobachters abhängt.

Letzten Endes hat ja genau diese Tatsache, dass aus der Absolutheit der Lichtgeschwindigkeit die Relativität so vieler physikalischer Größen folgt, dazu geführt, dass Einsteins Aufsatz – der ja ursprünglich lapidar „Von der Elektrodynamik bewegter Körper“ geheissen hatte – als „Relativitätstheorie“ in die Geschichte eingegangen ist.

Im ungestrichenen Bezugssystem ergibt sich die Lorentz-Kraft also aus dem elektrischen Feld:

Das Q in dieser Formel ist die Ladung der Kugel K2.

Wir wissen noch vom letzten Mal, dass der Wert E_z von der Ladung Q der Kugel K1 und vom Abstand L abhängt (wenn uns nicht nur das Startereignis interessieren würde, müßten wir statt L ganz allgemein die Koordinate z der Kugel K2 einsetzen).

Im ungestrichenen Bezugssystem bekommen wir also über die Bewegungsgleichung eine Querbeschleunigung

Die Lorentz-Kraft hat im gestrichenen Bezugssystem den Wert

Wenn man hier die gestrichenen Feldstärken vom letzten Mal hernimmt (gültig für die Raumzeit des Startereignisses),

sie in die Definition der Lorentz-Kraft einsetzt,

und weiters berücksichtigt, dass u_z‚ zur Raumzeit des Startereignisses gleich Null ist, so erhält man nach kurzer Rechnung die gestrichene Lorentz-Kraft, die wieder nur eine z‘-Komponente hat:

Im gestrichenen Bezugssystem bekommen wir über die Bewegungsgleichung also die Querbeschleunigung

Fazit:

Aus Gl. (4.16) und (4.22) sieht man also, dass die Kraft quer zur Bewegungsrichtung des Bezugssystems im gestrichenen Bezugssystem um den Faktor γ kleiner ist als die Kraft im ungestrichenen Bezugssystem.

Aus Gl. (4.17) und (4.23) sieht man, dass die Beschleunigung sogar um den Faktor γ² kleiner wird.

Dies ist aber im Licht der LT einsichtig, denn die z-Koordinate wird durch die LT zwar gleich gelassen, aber es gibt eine Zeitdilatation.

Da sich die Querbeschleunigung durch zweimaliges Ableiten der Ortskoordinate z nach der Zeit ergibt, ist auch klar, dass der Faktor γ quadratisch in die Beschleunigung eingeht.

In die Kraft F geht der Faktor γ nur linear ein, da ja in der Gleichung F=m.a der Wert m ebenfalls von γ abhängt (m=m₀.γ) und sich dieses γ gegen eines aus dem Wert von a kürzt (nach der LT).

Die Newton’sche Kraft F ist also auch eine relative Größe, da sie vom Bewegungszustand des Beobachters abhängt.

Auch Beschleunigungen sind in der Relativitätstheorie nichts Absolutes.

Meint

Euer Christoph

Im letzten Beitrag (siehe „Widerspruch oder bloß eine Unschönheit?“) haben wir anhand eines Rechenbeispiels ein Thema angerissen, das im vorletzten Jahrhundert und bis ins 20. Jahrhundert eine ganze Reihe von theoretischen Physikern beschäftigt hat.

Einerseits wurde um eine geschlossene Beschreibung von elektrodynamischen Effekten (also auch elektromagnetischen Feldern und Wellen) gerungen – was in der Formulierung der sogenannten Maxwell-Gleichungen mündete – andererseits ging man von der Existenz eines sogenannten Äthers aus, der das Trägermedium der elektromagnetischen Felder und Wellen sei.

Nach der Äther-Theorie wären die Maxwell-Gleichungen in ihrer schönen, einfachen Gestalt nur dann gültig gewesen, wenn man in einem „ruhenden“ Bezugssystem mäße/rechnete („ruhend“ relativ zum Äther, welcher sozusagen ein Pendant zum absoluten Raum und zur absoluten Zeit der Newton’schen Mechanik war).

In bewegten Bezugssystemen müßte man zusätzlich einen sog. „Ätherwind“ berücksichtigen.

Nun hat es sich aber experimentell herausgestellt, dass die Maxwell-Gleichungen in allen Bezugssystemen dieselbe Gültigkeit besitzen, dass ein Ätherwind also nicht aufzufinden war, und es wurde nach einer Lösung des Dilemmas gesucht.

All das ist hier bei mir nur sehr oberflächlich formuliert, einen guten Artikel gibt es z.B. hier: Geschichte der Relativitätstheorie.

Eine Lösung brachte unter anderem die Einführung einer „Ortszeit“ (im Gegensatz zur Newton’schen „absoluten Zeit“), die sich bei der Transformation von einem Bezugssystem in ein anderes mit veränderte und Transformationsgleichungen, die dann als „Lorentz-Transformation“ (LT) in die Geschichte eingegangen sind.

Ich will diesmal nur kurz nachrechnen, ob sich unter Anwendung der LT tatsächlich die Widersprüche auflösen, auf die wir beim letzten Mal gestoßen sind.

Beim letzten Mal haben wir ganz allgemein das Feld einer Punktladung berechnet, die sich relativ zu einem Bezugssystem – nennen wir es das „ruhende“ Bezugssystem – mit der Geschwindigkeit v bewegt.

Dabei sind wir von den Maxwell-Gleichungen ausgegangen, die sich dann über den Umweg der elektrodynamischen Potentiale relativ leicht lösen ließen.

Allerdings haben wir dann einen systematischen Fehler gemacht.

Wir haben nämlich behauptet, der Übergang zum mitbewegten oder teilweise mitbewegten Koordinatensystem sei einfach dadurch zu bewerkstelligen, dass man in die errechnete Lösung einfach einen anderen Wert für v einsetzt (was dann einer neuen Relativgeschwindigkeit der geladenen Kugeln gegenüber dem neuen, „bewegten“, Bezugssystem entsprechen sollte).

Dadurch haben wir vorausgesetzt, dass die Maxwellgleichungen in ihrer einfachen Form (also ohne Berücksichtigung des Ätherwindes) auch im mitbewegten Bezugssystem gültig seien (was sich letzten Endes als richtig herausstellen wird) UND dass man die Geschwindigkeit des neuen Bezugssystemes einfach nur vom alten Wert von v subtrahieren muss, um den neuen Wert von v zu erhalten.

Flapsig gesagt: wir sind davon ausgegangen, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen konstant ist UND dass die Galilei-Transformation gilt.

Das hat dann zu einem Widerspruch geführt.

P.S.: ich bin mir noch nicht sicher, was dann beim letzten Beispiel letzten Endes WIRKLICH zum Widerspruch geführt hat, Hinweise willkommen.

Diesmal wollen wir es anders angehen.

Wir wollen die LT als gegeben hinnehmen und dann ausprobieren, ob sich alles ausgeht und zu einem schönen Ende führt.

Wir werden zuerst von einem – ungestrichenen – Bezugssystem ausgehen, in dem sich die Ladung K1 nicht bewegt, und dann die Feldstärken am Ort der Ladung K2 in ein – gestrichenes – Bezugssystem transformieren, das sich mit der Geschwindigkeit (-v) entlang der x-Achse bewegt.

Dadurch erreichen wir die Beschreibung einer relativ zum gestrichenen Bezugssystem bewegten Ladung.

Beginnen wir mit der Kugel K1, die im Ursprung des „mitbewegten“ Koordinatensystems ruht und mit der Ladung Q geladen ist:

In diesem Fall gibt es kein Magnetfeld, aber ein elektrostatisches Feld, das am Ort der Kugel K2 folgenden Wert hat (Coulomb’sches Gesetz):

Wenn wir nun in ein „gestrichenes“ Bezugssystem transformieren, welches sich mit der Geschwindigkeit

relativ zum ungestrichenen Bezugssystem bewegt (das sich also „nach links“ bewegt, sodass sich die Ladung relativ dazu mit der Geschwindigkeit v „nach rechts“ bewegt), dann können wir die LT für die Feldstärken E und B googeln,

und sodann auf die Feldstärke E anwenden (B ist ja Null):

Wie diese Ergebnisse zu interpretieren sind, das wollen wir in den nächsten Schritten erarbeiten.

Lg
Christoph

P.S.:

Als erste kleine Glaubwürdigmachung wollen wir in die Rücktransformation einsetzen und sehen, ob wir wieder zum Ausgangspunkt zurückkommen.

Dazu schreiben wir die Ergebnisse der vorigen Berechnung nochmals an

überlegen uns, dass wir für die Rücktransformationsformeln bloß v durch -v ersetzen und die gestrichenen Größen mit den ungestrichenen vertauschen müssen, also

und setzen dann ein