Das gute alte Relativitätsprinzip

Wie versprochen, werde ich mich in diesem und den nächsten Artikeln ein wenig mit der Relativitätstheorie beschäftigen.

Na gut, die spezielle Relativitätstheorie hat jetzt ja auch schon ihre guten 100 Jahre auf dem Buckel, trotzdem war schon damals das sogenannte „Relativitätsprinzip“ eigentlich ein alter Hut.

Galileo Galilei hat es ja schon formuliert, dass die Formulierung der Naturgesetze für alle Inertialsysteme gleich sein muss. Damit gibt es unter allen Inertialsystemen kein einziges, welches in irgendeiner Weise ausgezeichnet ist, da die physikalischen Gesetze ja überall in gleicher Weise gelten.

Und für die klassische Mechanik ist das auch wunderbar gültig. Man sagt, diese ist galilei-invariant.

Wir werden hingegen sehen, dass die Gleichungen der Elektrodynamik nicht galilei-invariant sind. Dies hat letzten Endes dazu geführt, dass man in der speziellen Relativitätstheorie die Galilei-Transformation ersetzt hat durch die Lorentz-Transformation. An die Stelle der Galilei-Invarianz ist dann die Lorentz-Invarianz getreten.

Aber was ist das überhaupt, ein Inertialsystem?

Man kann es so sagen: das ist, wenn man bei einem Raumschiff den Antrieb ausschaltet.

Dann befindet man sich innerhalb dieses Raumschiffs in der „absoluten Schwerelosigkeit“, also in der „relativen Ruhe“. Wie immer bei mir, hübsch flapsig formuliert das Ganze.

Nun könnte man innerhalb dieses Raumschiffs jedes beliebige Objekt durch seine Position beschreiben, also zum Beispiel einen Massenpunkt P:




r'(t) sei dabei die Position „relativ zum Raumschiff“ in Abhängigkeit von der Zeit, wir bezeichnen das Raumschiff als das „gestrichene Koordinatensystem“ (obwohl es vielleicht gar nicht gestrichen ist, sondern metallisch blank 🙂 ):




Wenn wir nun die Bewegungsgröße p‘ des Punktes ändern wollen, müssen wir eine Kraft auf den Punkt wirken lassen, das sagt uns die Newton’sche Bewegungsgleichung (allseits beliebt als „F=m.a“):




bzw.




bzw.




Wenn man hier die klassische Definition der Bewegungsgröße („Impuls gleich Masse mal Geschwindigkeit“) einsetzt und wenn man annimmt, dass die Masse des Massenpunktes konstant bleibt, also




also




dann erhält man die Rechenregel, nach der man den Weg des Massenpunktes im gestrichenen Koordinatensystem errechnen kann. Natürlich muss man zum Lösen dieser Differentialgleichung den Verlauf der Kraft F(t) kennen und die Anfangsbedingungen. Im folgenden Ausdruck sind die Variablen μ und τ sozusagen Laufvariablen für die Zeit t, die nur innerhalb des Integrals eine Bedeutung haben und deshalb benannt werden können, wie es beliebt:

.


Wenn wir nun wissen, dass sich das Raumschiff mit der Geschwindigkeit v relativ zu einem anderen Inertialsystem bewegt (nennen wir dieses das „ungestrichene Koordinatensystem“), dann können wir den Ortsvektor r'(t) – Ort des Massenpunktes relativ zum gestrichenen Koordinatensystem – in den Ortsvektor r(t) umrechnen – relativ zum ungestrichenen System.

Hierzu verwenden wir folgende Transformationsgleichung:




.


Wie aus dem Bild leicht einsichtig wird, muss man also zum gestrichenen Ortsvektor r'(t) den Wert v.t hinzufügen, um r(t) zu errechnen.

Wir gehen hier davon aus, dass die beiden Koordinatensysteme nicht gegeneinander verdreht sind, und dass sie zum Zeitpunkt t=0 identisch sind.

Um nun die Bewegungsgleichung in das ungestrichene Koordinatensystem zu transformieren, lösen wir die Transformationsgleichung nach r‘ auf (wir erhalten dadurch die Gleichung für die Rücktransformation) und setzen das erhaltene r‘ = r'(r,t) in die Bewegungsgleichung ein:




Dabei sehen wir, dass der Anteil v.t durch das zweimalige Differenzieren komplett entfällt:




also sieht die Bewegungsgleichung im ungestrichenen Koordinatensystem genauso aus, wie im gestrichenen:




Was nichts anderes ist als eine Folge der Tatsache, dass die klassische Mechanik eben galilei-invariant ist.

Um nun zu zeigen, dass die elektrodynamischen Gleichungen nicht galilei-invariant sind, gehen wir von einem einfachen Rechenbeispiel aus.

Vorausgeschickt: Die Elektodynamik beschäftigt sich mit der wechselseitigen Beeinflussung von Ladungsträgern. Wenn also ein Massenpunkt P gleichzeitig eine Ladung trägt, dann gibt es folgende Effekte:

  • Jeder Ladungsträger verursacht ein elektrisches Feld E
  • Jeder bewegte Ladungsträger verursacht ein magnetisches Feld B
  • das elektrische Feld übt auf jeden Ladungsträger eine Kraft aus
  • das magnetische Feld übt auf jeden bewegten Ladungsträger eine Kraft aus.

Wie man das elektromagnetische Feld berechnet, welches von einer – bewegten oder unbewegten – Anordnung von Ladungsträgern verursacht wird, ist in den Maxwell-Gleichungen beschrieben.

Dieses elektromagnetische Feld, beschrieben durch die Größen E(x,y,z,t) und B(x,y,z,t) beeinflußt einen Ladungsträger, der sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, durch die sogenannte Lorentz-Kraft.

Der Wert q ist hierbei der Wert der Ladung, gemessen in Coulomb.




Man sieht, dass sich der magnetische Anteil der Lorentz-Kraft quer zur Bewegungsrichtung auswirkt (Kreuzprodukt).

Für unser Rechenbeispiel stellen wir uns zwei Elektronen vor, die sich in zwei parallelen Flugbahnen bewegen, und zwar beide mit der Geschwindigkeit v. Das erste Elektron nennen wir E1, das zweite nennen wir E2, beide haben die Ladung (-e).

Wenn wir nun im mitbewegten Koordinatensystem verharren, sind die beiden Elektronen bewegungslos, somit gibt es kein Magnetfeld und wir erhalten für die Lorentz-Kraft einen anderen Wert als im ruhenden Koordinatensystem.




Jedenfalls laut Wikipedia zeigt dieses Beispiel, dass die Gleichungen der Elektrodynamik eben NICHT galilei-invariant sind. Ob dem wirklich so ist, wollen wir nächstes mal untersuchen, wenn wir der zugehörigen Mathematik auf den Grund gehen.

Lg
Christoph

20 Responses to Das gute alte Relativitätsprinzip

  1. PinkPanther sagt:

    mit ist soeben mein Denkfehler bei meinem vorherigen Beispiel aufgefallen: mit der Wicklung, wenn ich mein Koordinatensystem mit dem Stromfluss mitdrehe: blöderweise brauchen die Elektronen, damit sie auch brav dort fließen, wo sie sollen, positive Ladungsträger, die sie „im Zaum“ halten, vulgo: den Wicklungsdraht, genauer: das positive Gitter aus Atomrümpfen des Kupferdrahtes (oder lieber Aluminium, damit das Kupfer nicht auch noch virtuell online aus dem Blog gestohlen wird). Und wenn ich mein Koordinatensystem drehe, sehe ich einen gleich großen Strom aus positiv geladenen Atomrümpfen (entgengesetzte Richtung, entgegengesetzte Polarität)…
    also der Strom bleibt erhalten, egel, wie sehr ich mich mitdrehe…

    Bin schon gespannt, wie dieses Dilemma bei den zwei freien Elektronen gelöst wird, denn laut Bewegungsgleichungen können sich die (ohne weitere äußerer Kräfte) nicht stationär geradlinig bewegen (weil sie ja Kräfte aufeinander ausüben). Das gilt also nur für einen infinitesimalen Augenblick. Und sobald ich einen Draht verwende, wird ein Bezugssytem ausgezeichnet.

  2. PinkPanther sagt:

    und die Aufteilung zwischen Leitungsstrom und Verschiebungsstrom (beschleunigte Bewegung von Ladungen)habe ich komplett außer Acht gelassen. Ich sollte mich lieber noch einmal in die Mathematik vertiefen, bevor ich weiterposte…

  3. PinkPanther sagt:

    außer ich nehme idealerweise auf einem Kreis gleichverteilte (verschmierte) Ladung an, dann hab ich quasi ein statisches E-Feld trotz Stromfluss

  4. Yeti sagt:

    Hast recht. Ich werde das Beispiel lieber mit zwei infinitesimal dünnen Supraleitern und einem kontinuierlichen Strom durchrechnen. Erscheint erstens realistischer als die zwei isolierten Elektronen und ich erwarte mir eine bedeutend leichtere Mathematik.

    Dadurch „zeichne ich zwar eines der beiden Bezugssysteme aus“, wie Du sagst, aber da der Draht ja erstens inifinitesimal dünn, zweitens ein Supraleiter und drittens unmagnetisch sein soll, und da es ja nicht auf die „Auszeichnung eines Bezugssystems“ sondern auf den „Bewegungszustand des Beobachters“ ankommt, sollte das der Allgemeinheit der Ergebnisse keinen Abbruch tun.

    meint
    Christoph

  5. nik sagt:

    @PinkPanther
    Vorsicht, ein gedrehtes System ist kein Inertialsystem, das darf man nicht als Bezugssystem nehmen. Darin hättest Du divergierende Zentrifugalkräfte und Überlichtgeschwindigkeit in der entsprechend großen Entfernung vom Zentrum. Das kann’s nicht sein.

    LG, Nik

  6. PinkPanther sagt:

    ich erinnere mich nicht (aber vielleicht eben falsch), dass die simple Lorentzkraftgleichung ein Inertialsystem voraussetzt. Das ist dann eben klassisch nicht-relativistisch, in diesem Modell spielt die Lichtgeschwindigkeint noch keine Rolle.
    Es ging mir nur darum, zu illustrieren, dass Verteilung zwischen E- und B-Feld abhängig vom Bezugssystem ist – bereits ohne Relativitätstheorie.

  7. nik sagt:

    Hallo Pink Panther,
    Nur keine Skrupel, nimm ruhig punktförmige Ladungsträger und betrachte sie in einen Augenblick im Vakuum ohne Draht und ohne positive Atomrümpfe auf geraden Bahnen bewegt, das passt schon.

    Eine Nichtrelativistische Elektrodynamik gibts leider nicht, das ist ja die Quintessenz dieses Threads.

    Jede Kraft – bzw. Bewegungsgleichung setzt ein Inertialsystem voraus, weil nur dieses unbeschleunigt ist, und die Beschleunigung ist, nach Newton linear aber auch sonst immer irgendwie, abhängig von der Kraft, also muss man das entkoppeln. Gedrehtes Bezugssystem ist unpraktisch zu rechnen, weil mindestens zwei Koordinaten zeitabhängig und miteinander verknüpft sind, bringt aber keinen Vorteil. Nimm ein infinitesimal kurzes Stück oder eines aus einer unendlich grossen Spule, dann kann man es eh wieder linear rechnen. Das mit dem Drehen bringt nix.

    LG, Nik

  8. Kardinal Novize Igor sagt:

    ach, könnte ich doch mehr Physik…..

    aber:

    TATAAAAAA!

    Ich hab was neues geschriebn….

    lg KNI

  9. Yeti sagt:

    @KNI

    wenn Du jetzt noch angeben würdest, wie man hinfindet, bin ich sicher, dass die Leute es auch lesen werden 🙂

  10. Hm. Das sollte funktionieren….

  11. PinkPanther sagt:

    @Nik: danke für die Hinweise. Ich wusste ja, warum ich lieber „lineare“ Systeme lieber hab, lieber Quellen-Senken-Felder als Rotor-Felder, lieber laminare Strömungen als Turbulenzen, lieber Ebenen statt Kugeln, etc…. 🙂
    Also sehe ich der Relativitätstheorie angewandt auf zwei gewöhnlich geradlinig bewegte Elektronen im Vakuum entgegen…

  12. nik sagt:

    Der Witz bei der Elektrodynamik ist ja, dass man nicht eines ohne das andere haben kann, wie im richtigen Leben. Wende eine lineare Bewegung auf ein lineares Potentialfeld an und du bekommst ein Rotorfeld mit Vektorpotential. Das ganze hat, wie ich seit gestern weiss, etwas mit der einen Zeit- und den drei Raumdimensionen zu tun.

    LG, nik

  13. Yeti sagt:

    @PinkPanther

    Bitte freu‘ Dich nicht zu früh‘. Ich rechne einfach „beinhart“ das Rechenbeispiel durch (interessanterweise komm‘ ich auf eine Längskomponente im elektrischen Feld).

    Bin noch auf der Suche, ob das Ergebnis irgendwo im Internet gepostet ist, damit ich zumindest grobe Rechenfehler ausmerzen kann.

    Poste ich wahrscheinlich morgen (zur Zeit Urlaub und heute Rodeln gehen mit den Kindern).

    Lg
    Christoph

  14. […] in meinem letzten Artikel zur Relativitätstheorie angekündigt (siehe “Das gute alte Relativitätsprinzip”), möchte ich diesmal konkret ein Rechenbeispiel durchmachen, das einen Widerspruch oder zumindest […]

  15. Yeti sagt:

    @Pink Panther, @Nik

    Ich glaube, ich habe jetzt bei mir selbst einige Verständnisschwierigkeiten beseitigt (der neue Artikel ist schon gepostet).

    Jetzt ist mir – Dank Eurer Hilfe – klar, dass die Aufteilung in E-Feld und B-Feld tatsächlich schon in der klassischen Elektrodynamik (die es ja gar nicht gibt 🙂 ) vom Bewegungszustand des Beobachters abhängt, denn die Messgeräte des Beobachters bewegen sich mit diesem mit, und werden die Lorentz-Kraft FL=Q.(E+v×B) teilweise als Magnetfeld, teilweise als elektrisches Feld interpretieren, je nach eigenem Bewegungszustand – Nik, würdest Du das auch so unterschreiben?????

    Weiters muss ich mich entschuldigen, dass ich B schlampigerweise als „magnetische Feldstärke“ bezeichne, natürlich ist es die „magnetische Flussdichte“ 🙂

    Und, ja. Ich habe doch nicht die zwei Supraleiter durchgerechnet, sondern die beiden bewegten Punktladungen, habe aber definiert, dass es zwischen ihnen auch mechanische Kräfte geben kann („Isolatorstab“ zwischen den beiden Ladungen), damit ich die geradlinige Bewegung argumentieren kann. Die brauche ich deswegen, weil ja entsprechend der „retardierten Potentiale“ der Quellpunkt für das Feld von einer Position der Kugeln herrührt, die schon einige Zeit zurückliegt (el.m. Wellen bewegen sich ja nicht unendlich schnell).

    Lg
    Christoph

  16. […] Zuerst haben wir anhand einer kleinen Rechnung gezeigt, dass die klassische Mechanik galilei-invariant ist, (siehe Das gute alte Relativitätsprinzip). […]

  17. […] Das gute alte Relativitätsprinzip […]

  18. Erik sagt:

    Relativitätstheorie = Äthertheorie = falsch

    Nachdem ein Äther als Übertragungsmedium des Lichts nicht nachgewiesen werden konnte, meldete sich Albert Einstein, dass die Äthertheorie falsch sei und seine Relativitätstheorie richtig wäre. Heute gelten tatsächlich sämtliche Arten der Äthertheorie als widerlegt. Einen Äther als Übertagungsmedium gibt es nicht, wird behauptet.

    Das Problem Einsteins ist, dass er eine mathematische Ausformulierung der Äthertheorie vom Franzosen Poincare zur Gänze übernommen hat. Aufgrund dieser abgeschriebenen Arbeit wollte Poincare nichts mit Einstein zu tun haben. Was aber viel schlimmer ist: Wegen dieser abgekupferten mathematischen Ausformulierung ist die Relativitätstheorie ebenfalls eine Art der Äthertheorie, die zudem weitere Unlogiken enthält.

    Wenn also die Relativitätstheorie ein Form der Äthertheorie darstellt und sämtliche Äthertheorien als falsch überführt gelten, warum soll dann die Relativitätstheorie richtig sein? Diese muss doch mindestens genauso falsch sein wie alle anderen Arten der Äthertheorie. Oder wird hier mit zweierlei Maß gemessen? – Außerdem ist die relativistische Wurzel sqrt(1 – v²/c²) nichts anderes als der Pythagoräische Lehrsatz a² + b² = c² ! !

    c² = a² + b²

    c² – a² = b² / : c²

    1 – a²/c² = b²/c² / sqrt

    sqrt(1 – a²/c²) = b/c

    Der Unterschied zwischen dem Lehrsatz von Pythagoras und der relativistischen Wurzel ist, dass die Buchstaben bei Pythagoras für Strecken gelten, während das v und das c der relativistischen Wurzel für Geschwindigkeiten stehen. Ich habe noch nie vernommen, dass der Pythagoräische Lehrsatz für Geschwindigkeiten gilt. Also muss auch aus diesem Grund etwas an der Relativitätstheorie falsch sein. (siehe auch: ‚Die Welt der Relativität – alles falsch? Korrekturen zur Relativitätstheorie‘ mit ISBN 9788490391730)

  19. Yeti sagt:

    Ich denke, hier muss man klar machen, dass ein Wort oder ein Satz zweierlei Eigenschaften hat. Einerseits gibt es den formalen Aufbau, andererseits gibt es die Bedeutung.

    Das Wort „Mus“ zum Beispiel kann unterschiedliche Bedeutungen haben, obwohl es immer aus denselben drei Buchstaben besteht: „M“ „u“ „s“

    Im Deutschen bedeutet das Wort „Mus“ so etwas ähnliches wie Marmelade, im Lateinischen ist es eine Maus.

    Und diese Verwechslung von äußerer Form und Inhalt zieht sich durch Deine gesamte Argumentation.

    Natürlich hat die „relativistische Wurzel“ eine ähnliche FORM wie der pythagoräische Lehrsatz, aber wie Du selber sagst, haben die beiden INHALTLICH nichts miteinander zu tun. Man kann also aus dem einen keine Schlüsse auf das andere ziehen.

    Was die Behauptung betrifft, die Relativitätstheorie sei eine Äthertheorie, möchte ich einen Absatz aus der Wikipedia zitieren:

    Zitat: […]

    Äthertheorien

    Die spezielle Relativitätstheorie wird in der Literatur vielfach als Gegentheorie zum Äther aufgefasst. Dabei sind die meisten Äthertheorien mit der speziellen Relativitätstheorie unvereinbar und werden durch die experimentellen Bestätigungen der Vorhersagen der speziellen Relativitätstheorie widerlegt.

    Eine Ausnahme bildet die lorentzsche Äthertheorie, die von Hendrik Antoon Lorentz und Henri Poincaré vor und gleichzeitig mit der speziellen Relativitätstheorie entwickelt worden war. Diese Theorie ist in ihren Vorhersagen identisch mit der speziellen Relativitätstheorie, nimmt jedoch an, dass es ein absolut ruhendes Bezugssystem gibt, welches sich aber durch keine Beobachtung von jedem anderen Bezugssystem unterscheiden lässt. Diese Theorie gilt heute als veraltet, weil das Postulat des unbeobachtbaren Ruhesystems das Sparsamkeitsprinzip verletzt. Außerdem ist noch ungeklärt, ob die lorentzsche Äthertheorie mit der allgemeinen Relativitätstheorie verträglich ist.

    […] Ende des Zitats

    Auch hier verwendet die lorentzsche Äthertheorie FORMAL dieselben Gleichungen (Lorentztransformation) wie die Relativitätstheorie, aber die BEDEUTUNG der Gleichungen ist eine andere, weil Lorentz und Poincare davon ausgehen, dass es ein absolut ruhendes herausragendes Ruhesystem gibt, während Einstein davon ausgeht, dass es solch ein Bezugssystem eben nicht gibt. (Wozu soll man etwas Unmessbares annehmen, wenn man es für die Erklärung der Welt nicht benötigt? ist in der Physik eine ernstzunehmende Frage)

    Lg
    Christoph

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