Nachtrag zur Reihe „Ein kleiner Programmierer…..

….versucht die Relativitätstheorie zu verstehen“

Denn in jener Reihe bin ich von der Lorentz-Transformation einfach ausgegangen, ohne diese näher zu hinterfragen.

Das wollen wir diesmal tun.

Einleitung

Nachdem die Serie „Ein kleiner Programmierer versucht die Relativitätstheorie zu verstehen“ auf diesem Blog schon einige Zeit her ist, müssen wir also wieder von vorne beginnen.

Wir erinnern uns, der Ausgangspunkt ist die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

Wenn wir also einen ruhenden Beobachter haben, dann bewegt sich ein Lichtblitz im leeren Raum relativ zu diesem Beobachter mit der Geschwindigkeit c0 = 2,998.108 m/sec (also etwa 300.000 km/sec).

Wenn sich nun ein anderer Beobachter und seine Meßgeräte mit der Geschwindigkeit v bewegen (v < c0 ), dann bewegt sich der Lichtblitz relativ zu diesem bewegten Beobachter nicht mit der Geschwindigkeit c0 minus v, wie man intuitiv vermuten könnte, sondern eben auch mit der Geschwindigkeit c0. Das ist experimentell bestätigt.

Beide Beobachter beobachten natürlich denselben Lichtblitz. Wir wollen ausschließen, dass durch die Bewegung des einen Beobachters die Wirklichkeit in zwei Wirklichkeiten „zerbricht“, und man dadurch zwei unterschiedliche Lichtblitze bekommt.

Wenn es nun aber immer derselbe Lichtblitz ist, und wenn er sich relativ zum ruhenden und zum bewegten Beobachter immer mit derselben Geschwindigkeit bewegt, dann kann irgendetwas mit Raum und Zeit nicht mehr stimmen, da ja derselbe Lichtblitz relativ zu beiden Beobachtern „gleichzeitig“ unterschiedliche Weglängen zurücklegen müßte und das mit derselben Geschwindigkeit.

Auf den ersten Blick ist das eine immense Widersprüchlichkeit, zumindest für unsere Intuition.

Der Verdacht liegt nahe, dass sich Raum und/oder Zeit für einen bewegten Beobachter in irgendeiner Weise deformieren. Insbesondere hegen wir den Verdacht, dass die sogenannte Galilei-Transformation nicht mehr gilt.

Zu allem Überdruss kommt noch das Relativitätsprinzip hinzu, das uns sagt, dass es gar nicht absolut feststellbar ist, welcher der beiden Beobachter sich bewegt und welcher stillsteht, man kann nur sagen, dass sie sich relativ zueinander mit einer Geschwindigkeit v bewegen.

Wenn man etwas nicht versteht, oder wenn man etwas von vorne weg nochmal analysieren möchte, dann ist es oft hilfreich mit einem einfachen Beispiel und einer Zeichnung zu beginnen.

Modellbildung

Beginnen wir also mit einem einfachen Beispiel. Am besten, wir ignorieren vorerst die Gravitation (die wird erst in der allgemeinen Relativitätstheorie erklärt) und verlegen das Beispiel in den Weltraum.

Eine Raumstation fernab von allen Planeten und Sternen sei unser „ruhendes“ Bezugssystem. Jahrzehntelang gibt es in einem weiten Umkreis um diese Raumstation einfach nichts ausser dem leeren Raum und auch etwaige Antriebsraketen der Station sind deaktiviert.

Eines Tages geschieht es nun, dass ein Raumschiff an der Station vorbeifliegt, und zwar mit hoher aber konstanter Geschwindigkeit v (auch die Antriebsraketen des Raumschiffs sind ausgeschaltet).

Im Raumschiff wird gerade ein wissenschaftliches Experiment durchgeführt. Und zwar wird ein Lichtblitz vom hinteren Ende des Raumschiffs durch eine Vakuumröhre zum vorderen Ende gesendet und dort an einem Spiegel reflektiert. Die Laufzeit des Lichtblitzes wird gemessen, und zwar für den Hinweg und für den Rückweg.

Geht es auch ohne Mathematik?

Wenn wir uns dieses Beispiel ein wenig näher anschauen, dann wird unsere Intuition und unser Intellekt auf eine harte Probe gestellt.

Denn die Behauptung ist, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant ist und dass es sich trotzdem immer um denselben Lichtblitz handelt, ganz egal, welcher Beobachter ihn mißt.

Wir wollen nun den Weg des Lichtblitzes verfolgen, und zwar zweimal, einmal aus der Sicht des ruhenden Beobachters und einmal aus der Sicht des bewegten.

Einmal sind beide Wege, der Hinweg und der Rückweg gleich lang, beim anderen Mal ist der Hinweg länger als der Rückweg.

Wenn nun das Licht immer gleich schnell ist, dann kommen wir in Bedrängnis mit unserem Begriff der Gleichzeitigkeit, denn im bewegten System vergeht für Hin-und Rückweg sicherlich dieselbe Zeit, während im ruhenden System der Hinweg länger dauert als der Rückweg.

Die Uhren im bewegten System gehen offensichtlich anders als die Uhren im ruhenden System, und offensichtlich ist das Ganze auch noch vom Wert der x-Koordinate abhängig. Der Begriff einer absoluten Zeit, die in allen Bezugssystemen gleich schnell verläuft (t=t‘), ist also mit Sicherheit zu verwerfen.

Allein mit unserer Intuition kommen wir hier nicht weiter. Wir werden also reumütig die ach-so-verhaßte Mathematik bitten, uns wieder einmal zu helfen.

Mathematische Analyse

Wir versuchen nun das wissenschaftliche Experiment, welches in jenem Raumschiff durchgeführt wird, mathematisch zu beschreiben.

Dazu nehmen wir die drei wichtigsten Ereignisse des Experiments und benennen ihre Orts- und Zeitkoordinaten.

Da wir ja den Verdacht hegen, dass sich Raum und Zeit für einen bewegten Beobachter verzerren, müssen wir jedes Ereignis vorläufig durch 4 Zahlen beschreiben: Orts- und Zeitkoordinate im bewegten System (wir nennen es das „gestrichene“ System, obwohl das Raumschiff wahrscheinlich metallisch blank ist 🙂 ) sowie Orts- und Zeitkoordinate im unbewegten System (wir nennen es das „ungestrichene“ System).

  • Ereignis E0: Lichtblitz wird ausgesendet: x0, t0, x0‚, t0
  • Ereignis E1: Lichtblitz wird reflektiert: x1, t1, x1‚, t1
  • Ereignis E2: Lichtblitz trifft wieder ein: x2, t2, x2‚, t2

Diese 12 Werte wollen wir nun herausfinden. Bei einigen wird das leicht sein, bei anderen ein wenig schwieriger.

Letzten Endes wollen wir natürlich den Zusammenhang zwischen den ungestrichenen Werten und ihren gestrichenen Companions ganz allgemein herausfinden.

Wir haben den Verdacht, dass wir diesen Zusammenhang nicht mehr durch die Galilei-Transformation beschreiben können,also nicht:






sondern dass der Vektor (x,t) in allgemeinerer Form vom Vektor (x‘,t‘) abhängt.
Ziemlich allgemein könnte man schreiben






wobei f() und g() zwei zu bestimmende Funktionen in den Variablen x‘ und t‘ sowie mit dem (konstanten) Parameter v wären.

Nun, solch allgemeine Ansätze wollen wir getrost der allgemeinen Relativitätstheorie überlassen, vorerst betreiben wir spezielle Relativitätstheorie und begnügen uns mit einem speziellen, nämlich mit einem linearen Ansatz (später wird sich zeigen, dass dieser lineare Ansatz für kleine Gebiete der Raumzeit näherungsweise in der allgemeinen Relativitätstheorie immer noch gilt).

Wir stellen die Transformation des Vektors (x‘,t‘) in den Vektor (x,t) also durch eine Lineartransformation dar:






Wir nehmen also das Ziel ins Visier, die Koeffizienten α, β, γ und δ ganz allgemein zu berechnen.

Na gut, wer nicht anfängt, wird auch nicht fertig. Also „los!“

Da es physikalisch unerheblich ist, wo der Nullpunkt der Bezugssysteme liegt, legen wir den Nullpunkt der x-Achse willkürlich an den Punkt, an dem das Raumschiff die Raumstation passiert und an dem das Ereignis E0 stattfindet (x0 = 0).

Die Ortskoordinate im Raumschiff messen wir willkürlich „vom hinteren Ende nach vorne“ (x0‚ = x2‚ = 0) und wir legen den Zeitnullpunkt in das Ereignis E0 (t0 = t0‚ = 0).

Weiters nehmen wir an, dass wir die Länge des Raumschiffes kennen (L‘ sei gegeben, also x1‚ = L‘). Allerdings müssen wir hier vorsichtig sein. Da wir ja vermuten, dass sich Raum und Zeit durch die Bewegung verzerren, müssen wir davon ausgehen, dass der ruhende Beobachter eine andere Länge L mißt als der mitbewegte Beobachter (der mißt L‘).

Da wir die Länge L‘ des Raumschiffes und die Geschwindigkeit des Lichtblitzes c0 kennen, können wir alle gestrichenen Größen leicht berechnen:






Fassen wir also noch einmal zusammen, was wir bereits wissen:






Wir können also bereits einige Gleichungen aufstellen, um unsere Koeffizienten α, β, γ und δ zu berechnen:

Die Transformationsgleichungen für das Ereignis E0 liefern leider keinen verwertbaren Beitrag:






also die Werte eingesetzt:






Diese Gleichung liefert keine Aussage über unsere Koeffizienten, da sie für beliebige Koeffizienten immer gültig ist (0=0).

Das ist eben ein Ausdruck der Tatsache, dass wir die Lage der Ursprünge der Bezugssysteme selbst und willkürlich festgelegt haben und jetzt aufgrund dieser Lage keine neue Aussage erwarten können.

Von den beiden anderen Ereignissen können wir uns mehr erwarten.















Wir haben jetzt also 4 Gleichungen – (10.7) und (10.8) – sowie 8 Unbekannte (die Ereignisse E1 und E2 aus der Sicht des unbewegten Beobachters (x1, t1, x2 und t2) sowie die Koeffizienten α, β, γ und δ).

Wir müssen also nach weiteren Informationen suchen.

Suche nach weiteren Informationen

Zuallererst verwerten wir die Information, dass sich das Raumschiff ja mit der Geschwindigkeit v bewegt. Dies äußert sich in folgender Gleichung:






Wenn wir die Gleichungen (10.8) und (10.9) kombinieren, dann bekommen wir bereits eine Aussage über die Koeffizienten β und δ:






Damit kann man den Koeffizienten β in den Gleichungen (10.7) und (10.8) eliminieren:











Jetzt denken wir wieder an unseren Ausgangspunkt, dass sich der Lichtblitz nämlich auch relativ zum unbewegten System mit der Geschwindigkeit c0 bewegt. Damit können wir zwei Gleichungen aufstellen, eine für den Hinweg und eine für den Rückweg:










Die beiden Gleichungen (10.13) und (10.14) kann man ein wenig umschreiben, um dann die Werte x1, x2, t1 und t2 in (10.11) und (10.12) zu eliminieren.

Das ist jetzt ein wenig Rechenarbeit, aber zum Schluß wird auch der werte Leser folgende Zusammenhänge zwischen den Koeffizienten α, β, γ und δ feststellen:










Mit (10.15) haben wir jetzt drei Gleichungen, um die vier Koeffizienten festzulegen, wobei die konkreten Ereignisse (x1, t1, x2, t2) bereits eliminiert sind.

Ein bisschen Information fehlt aber noch.

So denken wir jetzt an das Relativitätsprinzip, welches uns sagt, dass keines der beiden Bezugssysteme bevorzugt sein darf.

Wenn also die Raumstation statt dem Raumschiff das wissenschaftliche Experiment durchführen würde, dann wären die Ergebnisse genau dieselben, man müßte bloß v durch minus v ersetzen (da sich die Raumstation relativ zum Raumschiff mit der Geschwindigkeit -v bewegt) und die gestrichenen Werte mit den ungestrichenen vertauschen.

Mathematisch läßt sich das elegant mit Hilfe der Matrizenrechnung formulieren. Wir sagen: wenn man die Matrix der Hintransformation mit der Matrix der Rücktransformation multipliziert, muss dabei die Einheitsmatrix herauskommen (das ist so ähnlich wie x.(1/x)=1).

Also alle Koeffizienten durch δ(v) ausdrücken (siehe (10.15)) und beide Transformationsmatrizen multiplizieren:










Das führt letzten Endes zur Gleichung






und zu den bekannten Gleichungen der Lorentz-Transformation:














Fazit

Wir haben jetzt also nichts anderes gemacht, als die Lorentztransformation aus folgenden Tatsachen herzuleiten:

  1. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
  2. Es soll sich um eine Lineartransformation handeln
  3. Relativitätsprinzip

was man übrigens in jedem Lehrbuch der Physik trefflich nachlesen kann.

Ich war Euch das einfach schuldig, liebe Leser, da ich in der Serie „Ein kleiner Programmierer versucht die Relativitätstheorie zu verstehen“ die Lorentz-Transformation stets als gegeben akzeptiert hatte und mich nur mit den Konsequenzen beschäftigte.

Links

Die Links zu den anderen Artikeln der Serie findet Ihr hier: Zurück an den Start!

Gute Artikel zur Relativität findet man auf „Einstein Online“ (http://www.einstein-online.info/)

11 Responses to Nachtrag zur Reihe „Ein kleiner Programmierer…..

  1. Halb11 sagt:

    Ich grüble über Gleichung 10.14 nach. Eigentlich müsste sie lauten:
    (x2 -x1) = c*(t2-t1)
    Nur so wäre es richtig. Das Problem dabei ist, dass (x2 – x1) einen negativen Wert ergibt, wenn x2 und x1 Koordinaten sind. Während (t2 -t1) natürlich ein positives Ergebnis liefert.
    Das Problem ist wahrscheinlich, dass man mit einem linearen Ansatz keine Richtungsänderungen durch Spiegel beschreiben kann.
    Am besten wäre es daher, wenn man schreibt:
    {Betrag von (x2-x1)} = c*(t2-t1)
    Oder wir tun einfach so, als gäbe es den Spiegel nicht und das Licht würde weiter in die selbe Richtung strahlen bis zum Punkt
    x3. Und nachher spiegeln wir x3 einfach wieder an der Spiegelebene (x1), um x2 zu bekommen:
    x2= x1 – {Betrag von (x3-x1)}
    Diese Tricks hast du elegant unterschlagen und einfach:
    (x1 – x2) = c*(t2 – t1) geschrieben.
    Nicht falsch, halt nur etwas weiter gedacht. Und ich Pedant, stolpere natürlich drüber.
    😉

  2. Yeti sagt:

    Erstmal Danke für Dein Interesse. Ich muss da erst drüber nachdenken, ist ja schon einige Zeit her, dass ich das geschrieben habe, Aber ich melde mich 🙂

    Ausserdem muss ich jetzt ganz dringend zu meiner Donnerstag Abendrunde ins Wirtshaus 🙂

  3. Yeti sagt:

    Ja, jetzt hab‘ ichs.

    Zwischen den beiden Ereignissen E1 und E2 bewegt sich der Lichtblitz ja bereits rückwärts.

    Man müßte also richtigerweise von einer negativen Geschwindigkeit -c0 ausgehen und die Gleichung richtigerweise so anschreiben:

    (x2 – x1) = – c0 . (t2 – t1).

    Dadurch hätten wir auf beiden Seiten der Gleichung einen negativen Wert.

    Ich habe halt die Gleichung mit (-1) multipliziert (beide Seiten), was zwar die Anschaulichkeit verringert, aber trotzdem zum richtigen Ergebnis führt.

  4. hansarandt sagt:

    Vielen Dank für den Link, ich habe erst den Anfang gelesen und habe da gleich eine Frage, warum spricht man von Sternen, die unterschieden viele Lichtjahre entfernt sind, wenn doch das selbe Licht bei verschieden bewegten Beobachtern immer gleichzeitig ankommt, was experimentell bestätigt sei?

  5. Yeti sagt:

    Nein, das Licht kommt nicht bei allen Beobachtern gleichzeitig an, es hat nur relativ zu jedem Beobachter dieselbe Geschwindigkeit (solange es sich gravitationslos und im Vakuum bewegt).

    Zumindest ist das ein Postulat der Relativitätstheorie, das ja z.b. von sinnsucht bezweifelt wird.

    In diesem Blogbeitrag schreibe ich nur darüber, wie man die LT aus den drei Voraussetzungen ableiten kann.

  6. hansarandt sagt:

    Dann habe ich was falsch verstanden. Wenn das Licht sich wenn es weder beschleunigt noch gebremst wird mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegt, dann ist das doch das Normalste von der Welt. Was ist denn das Besondere an der Lichtgeschwindigkeit, das sie zum Dreh- und Angelpunkt der Relativitätstheorie macht?

  7. Yeti sagt:

    Ich bin da selber noch ein Anfänger.

    Mit der speziellen Relativitätstheorie habe ich mich schon ein wenig beschäftigt und dort tritt zu Tage, dass die Lichtgeschwindigkeit eine absolute Grenzgeschwindigkeit ist, die von einer Masse nicht überschritten werden kann.

    Weiters gilt das Additionstheorem der Geschwindigkeiten in der Relativitätstheorie nicht mehr. Große Geschwindigkeiten (wie die Lichtgeschwindigkeit) lassen sich nicht einfach vektoriell addieren, so wie in der klassischen Mechanik.

    Wenn ich mich relativ zu einem zweiten Beobachter mit der Geschwindigkeit v bewege, sowie bei einem Lichtblitz die Geschwindigkeit c messe, dann misst der zweite Beobachter beim SELBEN Lichtblitz nicht die Geschwindigkeit c + v, sondern wieder nur c. Solange v sehr viel kleiner ist als c, fällt das nicht auf, aber bei großen Geschwindigkeiten v wird das auffällig.

    Mit der allgemeinen Relativitätstheorie habe ich mich noch nicht beschäftigt. Dort wird dann der Lichtstrahl von der Gravitation tatsächlich beeinflußt (gekrümmt).

    Weiters ist Licht auch im Sinne der Quantentheorie etwas besonderes, da Lichtteilchen (Lichtquanten) die Ruhemasse Null haben.

    Aber wie gesagt, eigentlich kenne ich mich da auch nicht so gut aus, habe ja hoffentlich noch ein paar Jahre zu leben, um mich mit diesen Themen in meiner kargen Freizeit zu beschäftigen.

    Lg
    Christoph

  8. hansarandt sagt:

    Ich muss noch mal dumm fragen: Wenn von einem beliebigen Punkt aus sich zwei Körper mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 in entgegengesetzter Richtung voneinander wergbewegen, dann tun sie das bezogen auf die beiden Körper mit einer Geschwindigkeit von v1 + v2. Warum sollte die Wahrnehmung wie auch immer bewegter Beobachter von welchen hypothetischen Lichtblitzen auch immer etwas daran ändern?

  9. Yeti sagt:

    Zitat:Wenn von einem beliebigen Punkt aus sich zwei Körper mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 in entgegengesetzter Richtung voneinander wergbewegen, dann tun sie das bezogen auf die beiden Körper mit einer Geschwindigkeit von v1 + v2

    Genau dieses Additionstheorem der Geschwindigkeiten wird von der Relativitätstheorie ein wenig adaptiert (stimmt bei hohen Geschwindigkeiten nicht mehr).

    Wichtig ist die Frage, welches Bezugssystem Du verwendest. Ob sich die Messgeräte mit dem einen Körper mitbewegen, mit dem anderen, oder ob sie gegenüber dem Bezugssystem ruhen, gegenüber welchem die Geschwindigkeiten v1 und v2 gemessen werden.

  10. Yeti sagt:

    Und es geht nicht um „Wahrnehmung“, sondern um „Messung“.

    Statt dem Begriff „Beobachter“ kann man auch den Begriff „Messgerät“ verwenden, das macht keinen Unterschied.

  11. Yeti sagt:

    Nachtrag: in der speziellen Relativitätstheorie addieren sich Geschwindigkeiten wie folgt:

    Wenn sich zwei Körper mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 auseinander bewegen (aus Sicht des „ruhenden“ Bezugssystems), dann ist ihre Relativgeschwindigkeit (aus Sicht eines der bewegten Körper) gleich

    (v1 + v2) / (1 + v1.v2/c^2)

    Da der Summand v1.v2/c^2 im Allgemeinen sehr klein ist, macht das erst einen Unterschied. wenn v1 und/oder v2 in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit liegen.

    Aus Sicht des „ruhenden“ Bezugssystems ist die Relativgeschwindigkeit auch in der Relativitätstheorie natürlich exakt v1 + v2.

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