Mühsam nährt sich das Eichhörnchen

Der Blogger „Ausgesucht“ hat auf seinem Blog „Unerhörte Worte“ [http://sinnsucht.wordpress.com] einen Beitrag über
die Relativitätstheorie geschrieben: Link [http://sinnsucht.wordpress.com/2014/07/14/laengenkontraktion-2/].

Er behandelt die Reflexion eines Lichtblitzes an einer 45°-Ebene einmal aus der Sicht eines
unbewegten Beobachters und einmal aus der Sicht eines mit der Geschwindigkeit v bewegten
Beobachters.

Durch konsequente Anwendung des Optimierungskriteriums für einen Lichtweg („der Lichtblitz
nimmt immer den schnellsten Weg zwischen zwei Punkten“) kommt er zu Widersprüchen.

Er verwendet folgendes Optimierungskriterium:

srt_11_1

Das Linienintegral vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E der mit dem Brechungsindex gewichteten
Wegelemente soll also minimiert werden (die notwendige Voraussetzung zur Berechnung des
Minimums ist das Verschwinden des vollständigen Differentials).

Da er seine Rechnungen nicht komplett veröffentlicht, sondern nur den Ausgangspunkt und das
Ergebnis, möchte ich seinen Gedankengang konsequent verfolgen, um den angeblichen
Widerspruch in der Relativitätstheorie dingfest zu machen

Das Modell aus der Sicht des unbewegten Beobachters

Ich verwende ein leicht modifiziertes Modell (kein Prisma sondern einen Spiegel), um die Sache
möglichst einfach anzugehen.

Hier ist bereits der blaue Beobachter angedeutet, der sich mit der Geschwindigkeit v an der Szenerie
vorbeibewegt.

srt_11_abb_1

Das Modell aus der Sicht des bewegten Beobachters

srt_11_abb_2

Wir treffen folgende Modellbildung:

  • t1 = 0 sei der Zeitpunkt aus Sicht des bewegten Beobachters, an dem der Lichtblitz den
    Ausgangspunkt A verläßt. Zu diesem Zeitpunkt verläuft der Spiegel durch den Ursprung des
    Koordinatensystems
  • Durch x1, y1 = 0 und t1 sei aus Sicht des bewegten Beobachters das Ereignis beschrieben, dass sich der Lichtblitz am Ausgangspunkt A „auf den Weg macht“
  • t sei der Zeitpunkt der Reflexion aus Sicht des bewegten Beobachters, damit ist die Reflexion durch das Ereignis R(x, y, t) beschrieben
  • Der Spiegel zum Zeitpunkt der Reflexion sei aus Sicht des bewegten Beobachters durch die Gerade y = – x tg α – v t definiert
  • Durch x2 = 0, y2 und t2 sei aus Sicht des bewegten Beobachters das Ereignis beschrieben, dass der Lichtblitz am Endpunkt E „eintrifft“, und zwar setzen wir y2 als die y-Koordinate des Endpunktes zur Zeit t = 0
  • Deshalb hat der Endpunkt zur Eintreffzeit t2 die Koordinaten E (0 / y2 – v t2)

Die Optimierungsaufgabe

  • 0 < tan (α) = sqrt(1 − v^2 / c^2) < 1 sei gegeben
  • x1 < 0 und y2 < 0 seien gegeben
  • Die Variablen x, y und t (Ort und Zeit des Reflexionsereignisses R (x, y, t) aus Sicht des bewegten Beobachters) müssen variiert werden, sodass das Optimierungskriterium erfüllt
    wird:
    srt_11_2
  • 1. Nebenbedingung

    Das Licht bewegt sich vom Punkt A zum Punkt R mit Lichtgeschwindigkeit
    srt_11_3
  • 2. Nebenbedingung

    das Ereignis R(x, y, t) liegt auf dem Spiegel
    srt_11_4
  • 3. Nebenbedingung

    t2 ergibt sich aus der Bedingung, dass sich das Licht vom Punkt R zum Punkt E mit Lichtgeschwindigkeit bewegt
    srt_11_5

Berechnung

Wir gehen von einer Modellbildung mit konstantem Brechungsindex n=1 aus.

Der räumliche Abstand der Ereignisse A und R ergibt sich zu:

srt_11_6

Der räumliche Abstand der Ereignisse R und E ergibt sich zu:

srt_11_7

Die Optimierungsaufgabe lautet jetzt also:

srt_11_8

mit den Abkürzungen

srt_11_9

srt_11_10

Die Nebenbedingungen (11.9) und (11.10) ergeben sich durch Lösen je einer quadratischen Gleichung (hergeleitet aus (11.3) bzw. (11.5)) unter der Berücksichtigung der Tatsachen, dass die Werte t und t2 – t positiv sein müssen (Selektion je einer der beiden Lösungen).

Wir differenzieren Gleichung (11.8) nach x, vermuten dass x = 0 die Lösung ist, und setzen ein:

Tatsächlich ergibt sich

srt_11_11

Das heisst, der Lichtblitz wird bei x = 0 reflektiert.

Die beiden Hilfsgrößen f(x) und g(x) ergeben sich zu

srt_11_12

und das Ereignis R(x, y, t) ergibt sich zu

srt_11_13

Interpretation

Es beruhigt, dass als Ergebnis der Wert x = 0 herauskommt, da dadurch der Lichtblitz für den bewegten Beobachter dieselben Ereignisse durchläuft, wie für den ruhenden Beobachter.

Meine vorläufige Vermutung, dass eventuell das Optimierungskriterium (11.1) für den bewegten Beobachter nicht mehr gültig sein könnte, hat sich also nicht bestätigt.

Wenn man einen neuen Winkel β einführt, kann man die Ergebnisse aus Sicht des bewegten Beobachters geometrisch deuten.

srt_11_14

Es ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen α und β:

srt_11_15

srt_11_abb_3

Während der Lichtblitz die Strecke vom Ereignis A zum Ereignis R durcheilt, vergeht die Zeit t,
somit ist die Wegstrecke, die er durcheilt gleich

srt_11_16

Der Lichtblitz fällt also aus Sicht des bewegten Beobachters schräg unter dem Winkel β ein.

Vom Reflexionsereignis am Ort

srt_11_17

benötigt der Lichtblitz bis zum Eintreffen beim Endpunkt die Zeit

srt_11_18

Da das Ereignis E vom Ereignis R aus Sicht des bewegten Beobachters den räumlichen Abstand |y2| hat, aber der Punkt E mit der Geschwindigkeit v „vor dem Lichtblitz davonläuft“, sodass dieser – aus Sicht des bewegten Beobachters – dem Ereignis E mit der Geschwindigkeit (c – v) „entgegeneilt“, ist auch das glaubwürdig.

Zum Schluss die Behauptung, dass das Reflexionsgesetz nach wie vor gültig ist

Wir behaupten

srt_11_19

Was man umschreiben kann

srt_11_20-25

Diese Gleichung (11.25) ist nicht wahr, das Reflexionsgesetz „Ausfallswinkel = Einfallswinkel“ läßt sich also für den bewegten Beobachter nicht aufrecht erhalten (oder es liegt hier irgendwo ein Rechenfehler vor).

Meint

Euer Christoph

P.S.: Irrtümer vorbehalten 🙂 😛

2 Responses to Mühsam nährt sich das Eichhörnchen

  1. ausgesucht sagt:

    So recht mag ich dieser Herleitung nicht glauben, denn sie besagt (Gln. 11.6 & 11.7), daß der Streckenzug A-R-E, mit der Zeit (t) seine Geometrie ändert. Dieser Streckenzug soll doch aber einfallendes und reflektiertes Licht repräsentieren bei einem statischen Reflexionsvorgang: Wenn bei t=0 die Abstände |AR|=5cm und |RE|=8cm sein sollten, möchte das auch 1 oder 3.8 Sekunden noch so sein, jedenfalls nicht |AR| und |RE| variabel in der Zeit…

  2. Yeti sagt:

    Das habe ich wohl ein wenig missverständlich formuliert.

    Da wir nur ein einzelnes Photon verfolgen, und da sich sowohl der Sender A als auch der Empfänger E bewegen (aus Sicht des bewegten Beobachters), und da sich das Licht mit endlicher Geschwindigkeit bewegt, können wir nicht statisch rechnen.

    Wir setzen:
    t1 = 0 …..Sendezeitpunkt des Photons
    t ……….Reflexionszeitpunkt des Photons
    t2 …….Empfangszeitpunkt des Photons

    wobei wir t (und damit x und y des Ereignisses R) variieren (wir tun das formal in Abhängigkeit von x, also t(x), t2(x)).

    Nach(!) der Optimierung ergeben sich für |AR| und |RE| natürlich konstante Werte, die nur von v, x1 und y2 abhängen.

    Lg

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